Representación unipotente

En matemáticas, una representación unipotente de un grupo reductivo es una representación que tiene algunas similitudes con las clases de conjugación unipotentes de grupos.

De manera informal, la filosofía de Langlands sugiere que debería existir una correspondencia entre las representaciones de un grupo reductivo y las clases de conjugación de un grupo dual de Langlands , y que las representaciones unipotentes deberían ser aproximadamente las que corresponden a las clases unipotentes en el grupo dual.

Se supone que las representaciones unipotentes son los "bloques de construcción" básicos a partir de los cuales se pueden construir todas las demás representaciones en el siguiente sentido: las representaciones unipotentes deben formar un conjunto pequeño (preferiblemente finito) de representaciones irreducibles para cada grupo reductivo, de manera que todas las representaciones irreducibles se puedan obtener a partir de representaciones unipotentes de grupos posiblemente más pequeños mediante algún tipo de proceso sistemático, como la inducción (cohomológica o parabólica).

Sobre cuerpos finitos, las representaciones unipotentes son aquellas que aparecen en la descomposición de los caracteres de Deligne-Lusztig R ¹ _T de la representación trivial 1 de un toro T. Fueron clasificadas por Lusztig ( 1978 , 1979 ) . Algunos ejemplos de representaciones unipotentes sobre cuerpos finitos son la representación trivial unidimensional, la representación de Steinberg y θ ₁₀ . 

Lusztig (1995) clasificó los caracteres unipotentes sobre campos locales no arquimedianos.

Vogan (1987) analiza varias definiciones posibles de representaciones unipotentes de grupos de Lie reales .

• Teoría de Deligne-Lusztig

• Barbasch, Dan (1991), "Representaciones unipotentes para grupos reductivos reales" , en Satake, Ichirô (ed.), Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vol. II (Kioto, 1990) , Tokio: Math. Soc. Japan, pp. 769–777 , ISBN  978-4-431-70047-0, MR 1159263 
• Lusztig, George (1979), "Representaciones unipotentes de un grupo finito de Chevalley de tipo E ₈ ", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda Serie, 30 (3): 315– 338, doi : 10.1093/qmath/30.3.315 , ISSN 0033-5606 , MR 0545068  
• Lusztig, George (1978), Representaciones de grupos finitos de Chevalley , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol.  39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1689-9, MR 0518617 
• Lusztig, George (1995), "Clasificación de representaciones unipotentes de grupos p-ádicos simples", International Mathematics Research Notices , 1995 (11): 517–589 , arXiv : math/0111248 , doi : 10.1155/S1073792895000353 , ISSN 1073-7928 , MR 1369407  
• Vogan, David A. (1987), Representaciones unitarias de grupos de Lie reductivos , Annals of Mathematics Studies, vol.  118, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08482-4