Desigualdad de Boole

La desigualdad de Boole puede demostrarse para colecciones finitas de${\displaystyle n}$eventos utilizando el método de inducción .

Para el${\displaystyle n=1}$caso, se deduce que

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

Para el caso${\displaystyle n}$, tenemos

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Desde${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$y debido a que el funcionamiento del sindicato es asociativo , tenemos

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

Desde

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

Por el primer axioma de probabilidad , tenemos

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

y por lo tanto

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Dejemos que los eventos${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$en nuestro espacio de probabilidad dado. La aditividad contable de la medida${\displaystyle \mathbb {P} }$afirma que si${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$son eventos disjuntos por pares, entonces

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i}).}$

Colocar

${\displaystyle B_{i}:=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}$

Entonces${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$son disjuntos por pares. Afirmamos que:

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}.}$

Una inclusión es clara. De hecho, desde${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$para todo i, así${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$.

Para la otra inclusión, dejemos${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ser dado. Escribir${\displaystyle k}$para el entero positivo mínimo tal que${\displaystyle x\in A_{k}}$. Entonces${\displaystyle x\in A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}=B_{k}}$. De este modo${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$. Por lo tanto${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$.

Por lo tanto

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}),}$

donde se cumple la última desigualdad porque${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$implica que${\displaystyle \mathbb {P} (B_{i})\leq \mathbb {P} (A_{i}),}$para todos yo.

Dejar${\displaystyle E=\bigcap _ {i=1}^{n}B_ {i}}$, dónde${\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}$para cada${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Estos tales${\displaystyle E}$particionamos el espacio muestral y para cada${\displaystyle E}$y cada${\displaystyle i}$,${\displaystyle E}$está contenido en${\displaystyle A_{i}}$o separado de él.

Si${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}$, entonces${\displaystyle E}$aporta 0 a ambos lados de la desigualdad.

De lo contrario, asuma${\displaystyle E}$está contenido exactamente${\displaystyle L}$del${\displaystyle A_{i}}$. Entonces${\displaystyle E}$contribuye exactamente${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$al lado derecho de la desigualdad, mientras contribuye

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}$

al lado izquierdo de la desigualdad. Sin embargo, según la regla de Pascal , esto es igual a

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{\Big (}{L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}{\Big )}\mathbb {P} (E)}$

qué telescopios a

${\displaystyle {\Big (}1+{L-1 \choose K}{\Big )}\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}$

Por lo tanto, la desigualdad se cumple para todos los eventos.${\displaystyle E}$y así sumando sobre${\displaystyle E}$, obtenemos la desigualdad deseada:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}}$

La prueba de incluso${\displaystyle K}$es casi idéntico. ^{[ 3 ]}

Supongamos que estás estimando cinco parámetros a partir de una muestra aleatoria y que puedes controlar cada parámetro por separado. Si quieres que las estimaciones de los cinco parámetros sean precisas con una probabilidad del 95%, ¿qué debes hacer con cada uno de ellos?

Ajustar la probabilidad de que cada parámetro sea bueno dentro del 95 % no es suficiente porque "todos son buenos" es un subconjunto de cada evento "La estimación i es buena". Podemos usar la desigualdad de Boole para resolver este problema. Al encontrar el complemento del evento "los cinco son buenos", podemos cambiar esta pregunta a otra condición:

P (al menos una estimación es mala) = 0,05 ≤ P ( A ₁ es mala) + P ( A ₂ es mala) + P ( A ₃ es mala) + P ( A ₄ es mala) + P ( A ₅ es mala)

Una forma es hacer que cada una de ellas sea igual a 0,05/5 = 0,01, es decir, el 1%. En otras palabras, hay que garantizar que cada estimación tenga una precisión del 99% (por ejemplo, construyendo un intervalo de confianza del 99% ) para asegurar que la estimación total sea buena con una probabilidad del 95%. Esto se conoce como el método de Bonferroni para la inferencia simultánea.