Espacio uniformizable

En matemáticas , un espacio topológico X es uniformizable si existe una estructura uniforme en X que induce la topología de X. De forma equivalente, X es uniformizable si y solo si es homeomorfo a un espacio uniforme (equipado con la topología inducida por la estructura uniforme).

Cualquier espacio ( pseudo ) metrizable es uniformizable, ya que la uniformidad (pseudo)métrica induce la topología (pseudo)métrica. Lo contrario no se cumple: existen espacios uniformizables que no son (pseudo)metrizables. Sin embargo, la topología de un espacio uniformizable siempre puede ser inducida por una familia de pseudométricas ; de hecho, esto se debe a que cualquier uniformidad en un conjunto X puede definirse mediante una familia de pseudométricas.

Demostrar que un espacio es uniformizable es mucho más sencillo que demostrar que es metrizable. De hecho, la uniformizabilidad es equivalente a un axioma de separación común :

Un espacio topológico es uniformizable si y solo si es completamente regular .

Una forma de construir una estructura uniforme en un espacio topológico X es tomar la uniformidad inicial en X inducida por C ( X ), la familia de funciones continuas de valor real en X. Esta es la uniformidad más gruesa en X para la cual todas dichas funciones son uniformemente continuas . Una subbase para esta uniformidad viene dada por el conjunto de todos los entornos.

${\displaystyle D_{f,\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:|f(x)-f(y)|<\varepsilon \}}$

donde f ∈ C ( X ) y ε > 0.

La topología uniforme generada por la uniformidad anterior es la topología inicial inducida por la familia C ( X ). En general, esta topología será más gruesa que la topología dada en X. Las dos topologías coincidirán si y solo si X es completamente regular.

Dado un espacio uniformizable X, existe una uniformidad óptima en X compatible con su topología, denominada uniformidad fina o uniformidad universal . Se dice que un espacio uniforme es fino si posee la uniformidad fina generada por su topología uniforme.

La uniformidad fina se caracteriza por la propiedad universal : cualquier función continua f de un espacio fino X a un espacio uniforme Y es uniformemente continua. Esto implica que el functor F  : CReg → Uni que asigna a cualquier espacio completamente regular X la uniformidad fina en X es adjunto izquierdo del functor de olvido que envía un espacio uniforme a su espacio subyacente completamente regular.

Explícitamente, la uniformidad fina en un espacio completamente regular X se genera por todos los vecindarios abiertos D de la diagonal en X × X (con la topología producto ) tales que existe una secuencia D ₁ , D ₂ , … de vecindarios abiertos de la diagonal con D = D ₁ y${\displaystyle D_{n}\circ D_{n}\subseteq D_{n-1}}$.

La uniformidad en un espacio X completamente regular inducida por C ( X ) (ver la sección anterior) no siempre es la uniformidad fina.

• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.