Exponente de incertidumbre

En matemáticas, el exponente de incertidumbre es un método para medir la dimensión fractal del límite de una cuenca de atracción . En un sistema de dispersión caótico , el conjunto invariante del sistema no suele ser directamente accesible, ya que no es atractivo y generalmente tiene medida cero. Por lo tanto, la única forma de inferir la presencia de miembros y medir las propiedades del conjunto invariante es a través de las cuencas de atracción . Cabe señalar que, en un sistema de dispersión, las cuencas de atracción no son ciclos límite y, por consiguiente, no constituyen miembros del conjunto invariante.

Supongamos que comenzamos con una trayectoria aleatoria y la perturbamos en una pequeña cantidad, ${\displaystyle \epsilon }$, en una dirección aleatoria. Si la nueva trayectoria termina en una cuenca diferente a la anterior, entonces se denomina épsilon incierta . Si tomamos un gran número de tales trayectorias, entonces la fracción de ellas que son épsilon inciertas es la fracción de incertidumbre , ${\displaystyle f(\epsilon )}$y esperamos que crezca exponencialmente con${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle f(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\gamma }\,}$

Por lo tanto, el exponente de incertidumbre,${\displaystyle \gamma }$, se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \gamma =\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln f(\varepsilon )}{\ln \varepsilon }}}$

Se puede demostrar que el exponente de incertidumbre aproxima la dimensión de conteo de cajas de la siguiente manera:

${\displaystyle D_{0}=N-\gamma \,}$

donde N es la dimensión de incrustación . Consulte el artículo sobre mezcla caótica para ver un ejemplo de cálculo numérico de la dimensión de incertidumbre en comparación con la de una dimensión de conteo de cajas.

• C. Grebogi, SW McDonald, E. Ott y JA Yorke, Sensibilidad del estado final: Un obstáculo para la predictibilidad , Phys. Letters 99A: 415-418 (1983).
• Edward Ott (1993). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press .