Tensor de dos puntos

Los tensores de dos puntos , o vectores dobles , son cantidades de tipo tensorial que se transforman como vectores euclidianos con respecto a cada uno de sus índices. Se utilizan en mecánica de medios continuos para transformar entre coordenadas de referencia ("material") y coordenadas actuales ("configuración"). ^{[ 1 ]} Algunos ejemplos incluyen el gradiente de deformación y el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff .

Como en muchas aplicaciones de tensores, se utiliza con frecuencia la notación de suma de Einstein . Para aclarar esta notación, a menudo se utilizan índices en mayúscula para indicar coordenadas de referencia y en minúscula para las coordenadas actuales. Así, un tensor de dos puntos tendrá un índice en mayúscula y otro en minúscula; por ejemplo, A _jM .

Un tensor convencional puede verse como una transformación de vectores en un sistema de coordenadas a otros vectores en el mismo sistema de coordenadas. En cambio, un tensor de dos puntos transforma vectores de un sistema de coordenadas a otro. Es decir, un tensor convencional,

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$,

transforma activamente un vector u en un vector v de tal manera que

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

donde v y u se miden en el mismo espacio y su representación de coordenadas es con respecto a la misma base (denotada por la " e ").

En cambio, un tensor de dos puntos, G , se escribirá como

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

y transformará un vector, U , en el sistema E en un vector, v , en el sistema e como

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

Supongamos que tenemos dos sistemas de coordenadas, uno primado y otro no primado, y que los componentes de un vector se transforman entre ellos como

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

Para tensores supongamos que entonces tenemos

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

Un tensor en el sistema${\displaystyle e_{i}}$. En otro sistema, sea el mismo tensor dado por

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

Podemos decir

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

Entonces

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

es la transformación tensorial rutinaria. Pero un tensor de dos puntos entre estos sistemas es simplemente

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

que se transforma como

${\displaystyle F'=QF}$.

El ejemplo más común de un tensor de dos puntos es el tensor de transformación, la Q en la discusión anterior. Nótese que

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

Ahora, escribiendo todo,

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

y también

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

Esto requiere entonces que Q sea de la forma

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

Por definición de producto tensorial ,

Así que podemos escribir

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

De este modo

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

Incorporando ( 1 ), tenemos

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

• tensor mixto
• Covarianza y contravarianza de vectores

• Fundamentos matemáticos de la elasticidad Por Jerrold E. Marsden, Thomas JR Hughes
• Tensores de dos puntos en iMechanica