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Articulo de referencia

teoría de la triple cubierta

La teoría de triple capa es una teoría que describe una estructura de capa límite de tres capas cuando hay perturbaciones suficientemente grandes en la capa límite. Esta teoría ...

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La teoría de triple capa es una teoría que describe una estructura de capa límite de tres capas cuando hay perturbaciones suficientemente grandes en la capa límite. Esta teoría puede explicar con éxito el fenómeno de separación de la capa límite , pero también ha encontrado aplicaciones en muchas otras configuraciones de flujo, [ 1 ] incluyendo el escalamiento de la inestabilidad de rama inferior ( TS ) del flujo de Blasius , [ 2 ] [ 3 ] etc. James Lighthill , Lev Landau y otros fueron los primeros en darse cuenta de que para explicar la separación de la capa límite, es necesario introducir escalas diferentes a las escalas clásicas de la capa límite. Estas escalas fueron introducidas por primera vez independientemente por James Lighthill y EA Müller en 1953. [ 4 ] [ 5 ] La estructura de triple capa en sí fue descubierta independientemente por Keith Stewartson (1969) [ 6 ] y VY Neiland (1969) [ 7 ] y por AF Messiter (1970). [ 8 ] Stewartson y Messiter consideraron el flujo separado cerca del borde de salida de una placa plana, mientras que Neiland estudió el caso de una onda de choque que incide sobre una capa límite.

Suponerincógnita{\displaystyle x}yy{\displaystyle y}son las coordenadas longitudinal y transversal con respecto a la pared yRmi{\displaystyle Re}Sea el número de Reynolds , entonces el espesor de la capa límite esδ=Rmi−1/2{\displaystyle \delta =Re^{-1/2}}. La coordenada de la capa límite esη=yRmi1/2{\displaystyle \eta =yRe^{1/2}}. Entonces el espesor de cada cubierta es

Cubierta inferior:y∼Rmi−5/8Cubierta intermedia:y∼Rmi−4/8Cubierta superior:y∼Rmi−3/8.{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Cubierta inferior}}:&\quad y\sim Re^{-5/8}\\{\text{Cubierta intermedia}}:&\quad y\sim Re^{-4/8}\\{\text{Cubierta superior}}:&\quad y\sim Re^{-3/8}.\end{aligned}}}

La capa inferior se caracteriza por perturbaciones rotacionales viscosas, mientras que la capa intermedia (con el mismo espesor que la capa límite) se caracteriza por perturbaciones rotacionales no viscosas. La capa superior, que se extiende hacia la región de flujo potencial , se caracteriza por perturbaciones irrotacionales no viscosas.

La zona de interacción identificada por Lighthill en la dirección del flujo es

Zona de interacción:incógnita∼Rmi−3/8.{\displaystyle {\text{Zona de interacción}}:\quad x\sim Re^{-3/8}.}

El aspecto más importante de la formulación de triple capa es que la presión no está prescrita, por lo que debe resolverse como parte del problema de la capa límite. Este acoplamiento entre velocidad y presión reintroduce la elipticidad al problema, lo cual contrasta con la naturaleza parabólica de la capa límite clásica de Prandtl . [ 9 ]

Flujo cerca del borde de salida de una placa plana

Supongamos que las escalas de longitud están normalizadas con la longitud de la placa.L{\displaystyle L}y la escala de velocidad por la velocidad de la corriente libreU{\displaystyle U}; entonces el único parámetro del problema es el número de ReynoldsRmi=UL/ν{\displaystyle Re=UL/\nu }. Dejemos el origen(incógnita,y)=(0,0){\displaystyle (x,y)=(0,0)}del sistema de coordenadas se ubica en el borde posterior de la placa. Además,(tú,v){\displaystyle (u,v)}sean los componentes de velocidad adimensionales,pag{\displaystyle p}sea ​​el campo de presión adimensional yψ{\displaystyle \psi }sea ​​la función de corriente adimensional tal quetú=∂ψ/∂y{\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}yv=−∂ψ/∂incógnita{\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x}Para simplificar la notación, introduzcamos el parámetro pequeño.ε=1/Rmi1/8{\displaystyle \varepsilon =1/Re^{1/8}}. La coordenada para la interacción horizontal y para las tres cubiertas se puede definir entonces mediante [ 10 ].

χ=incógnita/ε3,ξ=y/ε5,η=y/ε4,ζ=y/ε3.{\displaystyle \chi =x/\varepsilon ^{3},\quad \xi =y/\varepsilon ^{5},\quad \eta =y/\varepsilon ^{4},\quad \zeta =y/\varepsilon ^{3}.}

Comoχ→−∞{\displaystyle \chi \to -\infty }(oincógnita→0−{\displaystyle x\to 0^{-}}), la solución debería aproximarse al comportamiento asintótico de la solución de Blasius , que viene dada por

ψε4=2FB(η2)+incógnita2[FB(η2)−η2FB′(η2)]+⋯{\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {2}}}\left[f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {\eta }{\sqrt {2}}}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)\right]+\cdots }

dóndeFB(η){\displaystyle f_{B}(\eta )}es la función de Blasisus que satisfaceFB‴+FBFB″=0{\displaystyle f_{B}'''+f_{B}f_{B}''=0}sometido aFB(0)=FB′(0)=FB′(∞)−1=0{\displaystyle f_{B}(0)=f_{B}'(0)=f_{B}'(\infty )-1=0}. Comoχ→+∞{\displaystyle \chi \to +\infty }(oincógnita→0+{\displaystyle x\to 0^{+}}), la solución debería aproximarse al comportamiento asintótico de la estela cercana de Goldstein, que viene dada por

Estela exterior:ψε4=2FB(η2)+μincógnita1/3λFB′(η2)+⋯{\displaystyle {\text{Estela exterior}}:{\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\mu x^{1/3}}{\lambda }}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\cdots }

dóndeμ=1.1321{\displaystyle \mu =1.1321}yλ=0,8789{\displaystyle \lambda =0,8789}La solución de estela interna de Goldstein no es necesaria aquí.

Cubierta intermedia

Se ha descubierto que la solución en la cubierta intermedia es

ψε4=2FB(η2)+εA(χ)FB′(η2)+ε2Φ(χ,η)+⋯,pag=ε2PAG(χ)+⋯{\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon A(\chi )f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon ^{2}\Phi (\chi ,\eta )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }

dóndeA(χ){\displaystyle A(\chi )}se denomina función de desplazamiento yPAG(χ){\displaystyle P(\chi )}se denomina función de presión , que se determinará a partir de los problemas de la cubierta superior e inferior. Nótese que la corrección a la función de corriente de Blasius es del ordenε{\displaystyle \varepsilon }, aunque la perturbación de presión es solo de ordenε2.{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}

Cubierta superior

En la cubierta superior, la solución se encuentra dada por

ψε4=ζε−2β−επ∫−∞+∞A′(χ)[broncearse−1⁡(χ−χ^ζ)+π2]dχ^+⋯,pag=ε2PAG(χ)+⋯{\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\frac {\zeta }{\varepsilon }}-{\sqrt {2}}\beta -{\frac {\varepsilon }{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }A'(\chi )\left[\tan ^{-1}\left({\frac {\chi -{\hat {\chi }}}{\zeta }}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right]d{\hat {\chi }}+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }

dóndeβ=1.2168{\displaystyle \beta =1.2168}Además, el problema de la cubierta superior también proporciona la relación entre el desplazamiento y la función de presión como

PAG(χ)=pag.v.1π∫−∞+∞A′(χ^)χ−χ^dχ^yA′(χ)=−pag.v.1π∫−∞+∞PAG(χ^)χ−χ^dχ^.{\displaystyle P(\chi )=\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A'({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}\quad {\text{and}}\quad A'(\chi )=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {P({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}.}

en el cualpag.v.{\displaystyle \mathrm {p.v.} }representa el valor principal de Cauchy . Se puede observar que la función de presión y la derivada de la función de desplazamiento (también conocida como velocidad transversal) forman un par de transformada de Hilbert (ver relaciones de Kramers-Kronig ).

Cubierta inferior

En la cubierta inferior, la solución viene dada por

ψε4=ε2Ψ(χ,ξ)+⋯,pag=ε2PAG(χ)+⋯{\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}=\varepsilon ^{2}\Psi (\chi ,\xi )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }

dóndeΨ(χ,ξ){\displaystyle \Psi (\chi ,\xi )}Satisfará las ecuaciones de tipo capa límite impulsadas por el gradiente de presión.dPAG/dχ{\displaystyle dP/d\chi }y la velocidad de deslizamiento de ordenε2{\displaystyle \varepsilon ^{2}}generado por la cubierta intermedia. Es conveniente introducirtú^=∂Ψ/∂ξ{\displaystyle {\hat {u}}=\partial \Psi /\partial \xi }yv^=−∂Ψ/∂χ{\displaystyle {\hat {v}}=-\partial \Psi /\partial \chi }, dóndetú^{\displaystyle {\hat {u}}}yv^{\displaystyle {\hat {v}}}debe satisfacer

∂tú^∂χ+∂v^∂ξ=0,tú^∂tú^∂χ+v^∂tú^∂ξ=−pag.v.1π∫−∞+∞A″(χ^)χ−χ^dχ^+∂2tú^∂ξ2.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\frac {\partial {\hat {v}}}{\partial \xi }}&=0,\\{\hat {u}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\hat {v}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}&=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A''({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial \xi ^{2}}}.\end{aligned}}}

Estas ecuaciones están sujetas a las condiciones

ξ=0:{tú^=v^=0,χ≤0,∂tú^∂ξ=v^=0,χ>0,yξ→∞:tú^→ξ+A(χ)2α3,{\displaystyle \xi =0:\,\,\,{\begin{cases}{\hat {u}}={\hat {v}}=0,\,\,\chi \leq 0,\\{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}={\hat {v}}=0,\,\,\chi >0,\end{cases}}\quad {\text{and}}\quad \xi \to \infty :{\hat {u}}\to {\frac {\xi +A(\chi )}{\sqrt {2\alpha ^{3}}}},}
χ→−∞:A→0,yχ→+∞:A→μλχ1/3{\displaystyle \chi \to -\infty :\,\,\,A\to 0,\quad {\text{y}}\quad \chi \to +\infty  :\,\,\,A\to {\frac {\mu }{\lambda }}\chi ^{1/3}}

dóndeα=1.6552{\displaystyle \alpha =1.6552}La función de desplazamientoA(χ){\displaystyle A(\chi )}y por lo tantoPAG(χ){\displaystyle P(\chi )}debe obtenerse como parte de la solución. El conjunto de ecuaciones anterior puede parecerse a las ecuaciones normales de la capa límite, sin embargo tiene un carácter elíptico ya que el término del gradiente de presión ahora no es local, es decir, el gradiente de presión en una ubicaciónχ{\displaystyle \chi }Depende también de otras ubicaciones. Por ello, estas ecuaciones a veces se denominan ecuaciones interactivas de la capa límite . La solución numérica de estas ecuaciones fue obtenida por Jobe y Burggraf en 1974. [ 11 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Smith, FT (1982). "Sobre la teoría de flujos laminares con números de Reynolds altos" . IMA J. Appl. Math . 28 (3): 207– 281. doi : 10.1093/imamat/28.3.207 .
  2. ↑ Smith, FT (1979). "Sobre la estabilidad del flujo no paralelo de la capa límite de Blasius". Proc. R. Soc. Lond . 366 (1724): 91– 109. Bibcode : 1979RSPSA.366...91S . doi : 10.1098/rspa.1979.0041 . S2CID 112228524 . 
  3. ↑ Lin, CC (1946). "Sobre la estabilidad de flujos paralelos bidimensionales. III. Estabilidad en un fluido viscoso" . Quart. Appl. Math . 3 (4): 277– 301. doi : 10.1090/qam/14894 .
  4. ↑ Lighthill, Michael James (1953). "Sobre capas límite e influencia aguas arriba II. Flujos supersónicos sin separación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 217 (1131): 478– 507. Bibcode : 1953RSPSA.217..478L . doi : 10.1098/rspa.1953.0075 . S2CID 95497146 . 
  5. ↑ EA Müller (1953) Tesis doctoral, Universidad de Göttingen.
  6. ↑ Stewartson, K. (1969). "Sobre el flujo cerca del borde de salida de una placa plana II". Mathematika . 16 (1): 106– 121. doi : 10.1112/S0025579300004678 .
  7. ↑ Neiland, V. Ya. (1969). "Teoría de la separación de la capa límite laminar en flujo supersónico" . Dinámica de fluidos . 4 (4): 33– 35. Bibcode : 1969FlDy....4d..33N . doi : 10.1007/BF01094681 .
  8. ↑ Messiter, AF (1970). "Flujo de capa límite cerca del borde de salida de una placa plana". SIAM Journal on Applied Mathematics . 18 (1): 241– 257. doi : 10.1137/0118020 .
  9. ^ Prandtl, L. (1904). "Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verh. III. Int. Matemáticas. Kongr. : 484– 491.
  10. ↑ Sobey, IJ (2000). Introducción a la teoría interactiva de la capa límite (Vol. 3). Oxford Texts in Applied and En.
  11. ↑ Jobe, CE, & Burggraf, OR (1974). La solución numérica de las ecuaciones asintóticas del flujo en el borde de salida. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 340(1620), 91-111.