Tridecágono

En geometría , un tridecágono , triskaidecágono o 13-gono es un polígono de trece lados .

Tridecágono regular

Un tridecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {13}.

La medida de cada ángulo interno de un tridecágono regular es aproximadamente 152,308 grados , y el área con longitud de lado a viene dada por

A={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}.

Construcción

Como 13 es un número primo de Pierpont pero no de Fermat , el tridecágono regular no se puede construir con regla y compás . Sin embargo, sí se puede construir mediante la trisección de ángulos (neusis) .

A continuación se muestra una animación de una construcción neusis de un tridecágono regular con radio igual al del círculo circunscrito. ${\overline {OA}}=12,$ Según Andrew M. Gleason , ^{[ 1 ]} basado en la trisección del ángulo por medio del Tomahawk (azul claro).

Una construcción neusis de un tridecágono regular (triskaidecágono) con radio de la circunferencia circunscrita. ${\overline {OA}}=12$ En una animación (1 min 44 s), se muestra la trisección de un ángulo mediante el Tomahawk (azul claro). Esta construcción se deriva de la siguiente ecuación: $\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {26+5{\sqrt {13}}}{9}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1\right).$

{\displaystyle {\overline {OA}}=12} — Una construcción neusis de un tridecágono regular (triskaidecágono) con radio de la circunferencia circunscrita. ${\overline {OA}}=12$ En una animación (1 min 44 s), se muestra la trisección de un ángulo mediante el Tomahawk (azul claro). Esta construcción se deriva de la siguiente ecuación: $\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {26-2{\sqrt {13}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {26+5{\sqrt {13}}}{9}}\right)\right)+{\sqrt {13}}-1\right).$

Simetría

El tridecágono regular tiene simetría Dih ₁₃ , orden 26. Como 13 es un número primo , hay un subgrupo con simetría diedral: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclicas : Z ₁₃ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el tridecágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^{[ 2 ]} La simetría completa de la forma regular es r26 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedrales se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g13 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Uso numismático

El tridecágono regular se utiliza como forma de la moneda checa de 20 coronas . ^{[ 3 ]}

Polígonos relacionados

Un tridecagrama es un polígono estrellado de 13 lados . Existen 5 formas regulares representadas por los símbolos de Schläfli : {13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5} y {13/6}. Dado que 13 es un número primo, ninguno de los tridecagramas es una figura compuesta.

Aunque en el Rollo de Topkapi aparecen estrellas de 13 puntas , no tienen estas formas regulares. ^{[ 4 ]}

Polígonos de Petrie

El tridecágono regular es el polígono de Petrie del 12-símplex :

Referencias

↑ Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección angular, el heptágono y el triskaidecágono, págs. 192-194 (pág. 193, fig. 4)" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 186-194 . doi : 10.2307/2323624 . Archivado del original (PDF) el 19 de diciembre de 2015. Consultado el 24 de diciembre de 2015 .
↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278)
↑ Colin R. Bruce, II, George Cuhaj y Thomas Michael, 2007 Standard Catalog of World Coins , Krause Publications, 2006, ISBN 0896894290, pág. 81.
↑ Cromwell, Peter R. (2010). "Diseños geométricos islámicos del Rollo Topkapı I: disposiciones inusuales de estrellas" . Journal of Mathematics and the Arts . 4 (2): 73– 85. doi : 10.1080/17513470903311669 . MR 2786387 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Tridecágono" . MathWorld .

[Gleason-1] Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección angular, el heptágono y el triskaidecágono, págs. 192-194 (pág. 193, fig. 4)" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 186-194 . doi : 10.2307/2323624 . Archivado del original (PDF) el 19 de diciembre de 2015. Consultado el 24 de diciembre de 2015 .

[2] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278)

[3] Colin R. Bruce, II, George Cuhaj y Thomas Michael, 2007 Standard Catalog of World Coins , Krause Publications, 2006, ISBN 0896894290, pág. 81.

[4] Cromwell, Peter R. (2010). "Diseños geométricos islámicos del Rollo Topkapı I: disposiciones inusuales de estrellas" . Journal of Mathematics and the Arts . 4 (2): 73– 85. doi : 10.1080/17513470903311669 . MR 2786387 .

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