Árbol de ternas pitagóricas primitivas

Un árbol de ternas pitagóricas primitivas es un árbol matemático en el que cada nodo representa una terna pitagórica primitiva y cada terna pitagórica primitiva está representada por un único nodo. En dos de estos árboles, el árbol de Berggren y el árbol de Price, la raíz del árbol es la terna $(3, 4, 5)$ , y cada nodo tiene exactamente tres hijos, generados a partir de él mediante transformaciones lineales .

Una terna pitagórica es un conjunto de tres enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ que tienen la propiedad de que pueden ser respectivamente los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo , satisfaciendo así la ecuación $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ Se dice que una terna es primitiva si y solo si el máximo común divisor de $a$ , $b$ y $c$ es uno. En el caso de las ternas pitagóricas primitivas, $a$ , $b$ y $c$ también son coprimos dos a dos . El conjunto de todas las ternas pitagóricas primitivas tiene la estructura de un árbol con raíz , específicamente un árbol ternario , de forma natural. Esto fue descubierto por primera vez por B. Berggren en 1934. ^{[ 1 ]}

FJM Barning demostró ^{[ 2 ]} que cuando cualquiera de las tres matrices

{\begin{array}{lcr}A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&B={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}

Se multiplica por la derecha un vector columna cuyos componentes forman una terna pitagórica, y el resultado es otro vector columna cuyos componentes son una terna pitagórica diferente. Si la terna inicial es primitiva, también lo es la resultante. Por lo tanto, cada terna pitagórica primitiva tiene tres "hijos". Todas las ternas pitagóricas primitivas descienden de esta manera de la terna $(3, 4, 5)$ , y ninguna terna primitiva aparece más de una vez. El resultado puede representarse gráficamente como un árbol ternario infinito con $(3, 4, 5)$ en el nodo raíz (véase el árbol clásico a la derecha). Este árbol también apareció en los trabajos de A. Hall en 1970 ^[³^] y AR Kanga en 1990 ^[⁴^] . En 2008, VE Firstov demostró en general que solo existen tres árboles de tricotomía de este tipo y proporcionó explícitamente un árbol similar al de Berggren, pero comenzando con el nodo inicial $(4, 3, 5)$ ^[⁵^] .

Pruebas

Presencia de ternas pitagóricas exclusivamente primitivas

Se puede demostrar inductivamente que el árbol contiene ternas pitagóricas primitivas y nada más, demostrando que, partiendo de una terna pitagórica primitiva, como la que está presente en el nodo inicial con $(3, 4, 5)$ , cada terna generada es a la vez pitagórica y primitiva.

Preservación de la propiedad pitagórica

$Si alguna de las$ matrices anteriores, digamos $A$ , se aplica a una terna $(a, b, c) T$ $que$ posee la propiedad pitagórica $a² + b² = c²$ para obtener una nueva terna $(d,$ $e$ $,$ $f$ $)$ $T$ $=$ $A$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ $T$ , esta nueva terna también es pitagórica. Esto se puede comprobar escribiendo cada uno de $d$ , $e$ $y$ $f como la suma$ $de$ $tres$ términos en $a$ , $b$ y $c , elevando al cuadrado cada$ $uno de$ $ellos$ y sustituyendo $c² = a² + b²$ $para$ obtener $f² = d² + e²$ . Esto se cumple para B $y$ C $,$ $así$ como para $A.$

Preservación de la primitividad

Las matrices $A$ , $B$ y $C$ son todas unimodulares , es decir, tienen solo entradas enteras y sus determinantes son ±1. Por lo tanto, sus inversas también son unimodulares y, en particular, tienen solo entradas enteras. Así, si cualquiera de ellas, por ejemplo $A$ , se aplica a una terna pitagórica primitiva $(a, b, c) T$ para obtener otra terna $(d, e, f) T$ , tenemos $(d, e, f) T = A (a, b, c) T$ y, por lo tanto $, (a, b, c) T = A⁻¹ (d, e, f) T. Si algún factor primo fuera compartido por dos cualesquiera de$ (y por lo tanto por los tres de) $d$ , $e$ y $f$ , entonces, según esta última ecuación, ese primo también dividiría a cada uno de $a$ , $b$ y $c$ . Por lo tanto, si $a$ , $b$ y $c$ son coprimos dos a dos, entonces $d$ , $e$ y $f$ también deben ser coprimos dos a dos. Esto también se aplica a $B$ y $C$ , así como a $A.$

Presencia de cada triplete pitagórico primitivo exactamente una vez.

Para demostrar que el árbol contiene cada terna pitagórica primitiva, pero no más de una vez, basta con demostrar que para cualquier terna de este tipo existe exactamente un camino de regreso a través del árbol hasta el nodo inicial $(3, 4, 5)$ . Esto se puede comprobar aplicando sucesivamente cada una de las matrices inversas unimodulares $A⁻¹$ $,$ B⁻¹ $y$ C⁻¹ $a$ una terna pitagórica primitiva arbitraria $($ $d, e, f) , observando que, según el razonamiento anterior$ $,$ se conservan la primitividad y la propiedad pitagórica, y observando que para cualquier terna mayor que $(3, 4, 5),$ $exactamente$ una de las matrices de transición inversas produce una nueva terna con todas las entradas positivas (y una hipotenusa menor). Por inducción, esta nueva terna válida conduce a exactamente una terna válida menor, y así sucesivamente. Debido a la finitud del número de hipotenusas potenciales cada vez menores, finalmente se llega a $(3, 4, 5)$ . Esto prueba que $(d, e, f)$ sí aparece en el árbol, ya que se puede llegar a él desde $(3, 4, 5)$ invirtiendo los pasos; y aparece de forma única porque solo había un camino desde $(d, e, f)$ hasta $(3, 4, 5)$ .

Propiedades

La transformación utilizando la matriz $A$ , si se realiza repetidamente desde $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ , conserva la característica $b + 1 = c$ ; la matriz $B$ conserva $a - b = \pm1$ comenzando desde $(3, 4, 5)$ ; y la matriz $C$ conserva la característica $a + 2 = c$ comenzando desde $(3, 4, 5)$ .

Una interpretación geométrica para este árbol involucra los excírculos presentes en cada nodo. Los tres hijos de cualquier triángulo padre “heredan” sus radios inscritos del padre: los radios excírculos del padre se convierten en los radios inscritos para la siguiente generación. ^{[ 6 ]}^{: p.7} Por ejemplo, el padre $(3, 4, 5)$ tiene radios excírculos iguales a 2, 3 y 6. Estos son precisamente los radios inscritos de los tres hijos $(5, 12, 13)$ , $(15, 8, 17)$ y $(21, 20, 29)$ respectivamente.

Si $A$ o $C$ se aplican repetidamente desde cualquier terna pitagórica utilizada como condición inicial , entonces la dinámica de cualquiera de $a$ , $b$ y $c$ puede expresarse como la dinámica de $x$ en

x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0\,

que se basa en la ecuación característica compartida de las matrices

\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.\,

Si $B$ se aplica repetidamente, entonces la dinámica de cualquiera de $a$ , $b$ y $c$ puede expresarse como la dinámica de $x$ en

x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,\,

que se basa en la ecuación característica ^de $B.$ ^[⁷ ]

Además, se puede encontrar una infinidad de otras ecuaciones de diferencias univariadas de tercer orden multiplicando cualquiera de las tres matrices entre sí un número arbitrario de veces en una secuencia arbitraria. Por ejemplo, la matriz $D = CB$ se desplaza dos nodos fuera del árbol (horizontalmente y luego hacia abajo) en un solo paso; la ecuación característica de D $proporciona$ el patrón para la dinámica de tercer orden de cualquiera de $a$ , $b$ o $c$ en el árbol no exhaustivo formado por $D.$

Métodos alternativos para generar el árbol

Utilizando dos parámetros

Otro enfoque de la dinámica de este árbol ^{[ 8 ]} se basa en la fórmula estándar para generar todas las ternas pitagóricas primitivas:

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2},\,

con $m > n > 0$ y $m$ y $n$ coprimos y de paridad opuesta (es decir, no ambos impares). Los pares $(m, n)$ se pueden iterar multiplicándolos previamente (expresados como un vector columna) por cualquiera de

{\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}

Cada uno de ellos conserva las desigualdades, la coprimaz y la paridad opuesta. El árbol ternario resultante, que comienza en $(2, 1)$ , contiene cada par $(m, n)$ exactamente una vez, y cuando se convierte en tríos $(a, b, c)$ se vuelve idéntico al árbol descrito anteriormente.

Alternativamente, comience con $(m, n) = (3, 1)$ para el nodo raíz. ^{[ 9 ]} Entonces las multiplicaciones de matrices preservarán las desigualdades y la coprimalidad, y tanto $m$ como $n$ permanecerán impares. Las ternas pitagóricas primitivas correspondientes tendrán $a = (m 2 - n 2) / 2$ , $b = mn$ , y $c = (m 2 + n 2) / 2$ . Este árbol producirá las mismas ternas pitagóricas primitivas, aunque con $a$ y $b$ intercambiados.

Utilizando un parámetro

Este enfoque se basa en la fórmula estándar para generar cualquier terna pitagórica primitiva a partir de la tangente de un semiángulo. Específicamente, se escribe $t = n / m = b / (a + c)$ , donde $t$ es la tangente de la mitad del ángulo interior opuesto al lado de longitud $b$ . El nodo raíz del árbol es $t = 1/2$ , que corresponde a la terna pitagórica primitiva $(3, 4, 5)$ . Para cualquier nodo con valor $t$ , sus tres hijos son $1 / (2 - t)$ , $1 / (2 + t)$ , y $t / (1 + 2 t)$ . Para hallar la terna pitagórica primitiva asociada a cualquier valor $t$ de este tipo , se calcula $(1 - t 2, 2 t, 1 + t 2)$ y se multiplican los tres valores por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. (Alternativamente, escriba $t = n / m$ como una fracción en su mínima expresión y utilice las fórmulas de la sección anterior). Un nodo raíz que tenga el valor $t = 1/3$ dará el mismo árbol de ternas pitagóricas primitivas, aunque con los valores de $a$ y $b$ intercambiados.

Un árbol diferente

Alternativamente, también se pueden utilizar tres matrices diferentes encontradas por Price: ^{[ 6 ]}

{\begin{array}{lcr}A'={\begin{bmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{bmatrix}}\,,&B'={\begin{bmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{bmatrix}}\,,&C'={\begin{bmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{bmatrix}}\,.\end{array}}

Los tres hijos producidos por el conjunto ${A, B, C}$ y los hijos producidos por el conjunto ${A', B', C'}$ no son los mismos, pero cada conjunto produce por separado todas las ternas primitivas.

Por ejemplo, usando $[5, 12, 13]$ como padre, obtenemos dos conjuntos de tres hijos:

{\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}

Notas y referencias

^ B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (en sueco), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129-139. Consulte la página 6 para ver el árbol enraizado.
^ Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (en holandés), Math. Centrum Ámsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
↑ A. Hall, "Genealogía de las tríadas pitagóricas", The Mathematical Gazette , volumen 54, número 390, diciembre de 1970, páginas 377-9.
↑ Kanga, AR, "El árbol genealógico de las ternas pitagóricas", Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones 26, enero/febrero de 1990, 15-17.
↑ Firstov, VE (2008). "Un semigrupo de transformación matricial especial de pares primitivos y la genealogía de las ternas pitagóricas" . Mat. Zametki . 84 (2): 281– 299. doi : 10.4213/mzm4074 .
1 2 Price, H. Lee (2008). "El árbol pitagórico: una nueva especie". arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].
↑ Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 92.60", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 358–9.
↑ Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (julio de 1994), "Revisión del árbol genealógico de las ternas pitagóricas", Mathematical Gazette , 78 : 190–193 , doi : 10.2307/3618576 , JSTOR 3618576 , S2CID 125749577 .
↑ Mitchell, Douglas W., "Una caracterización alternativa de todas las ternas pitagóricas primitivas", Mathematical Gazette 85, julio de 2001, 273–275.

Enlaces externos

El/los árbol(es) trinario(s) subyacente(s) a las ternas pitagóricas primitivas en cut-the-knot
Frank R. Bernhart y H. Lee Price, "El jardín de Pitágoras, revisitado", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.
Weisstein, Eric W. "Triple pitagórica" . MathWorld .

[1] B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (en sueco), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129-139. Consulte la página 6 para ver el árbol enraizado.

[2] Barning, FJM (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (en holandés), Math. Centrum Ámsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151

[3] A. Hall, "Genealogía de las tríadas pitagóricas", The Mathematical Gazette , volumen 54, número 390, diciembre de 1970, páginas 377-9.

[4] Kanga, AR, "El árbol genealógico de las ternas pitagóricas", Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones 26, enero/febrero de 1990, 15-17.

[5] Firstov, VE (2008). "Un semigrupo de transformación matricial especial de pares primitivos y la genealogía de las ternas pitagóricas" . Mat. Zametki . 84 (2): 281– 299. doi : 10.4213/mzm4074 .

[Price-6] 1 2 Price, H. Lee (2008). "El árbol pitagórico: una nueva especie". arXiv : 0809.4324 [ math.HO ].

[7] Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 92.60", Mathematical Gazette 93, julio de 2009, 358–9.

[8] Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (julio de 1994), "Revisión del árbol genealógico de las ternas pitagóricas", Mathematical Gazette , 78 : 190–193 , doi : 10.2307/3618576 , JSTOR 3618576 , S2CID 125749577 .

[9] Mitchell, Douglas W., "Una caracterización alternativa de todas las ternas pitagóricas primitivas", Mathematical Gazette 85, julio de 2001, 273–275.

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