Hora de levantarse

Se dice que un sistema tiene una respuesta gaussiana si se caracteriza por la siguiente respuesta en frecuencia.

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}}$

donde σ > 0 es una constante, ^{[ 14 ]} relacionada con la frecuencia de corte alta mediante la siguiente relación:

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

Aunque este tipo de respuesta en frecuencia no se pueda realizar mediante un filtro causal , ^{[ 15 ]} su utilidad radica en que el comportamiento de una conexión en cascada de filtros paso bajo de primer orden se aproxima más al comportamiento de este sistema a medida que el número de etapas en cascada tiende asintóticamente al infinito . ^{[ 16 ]} La respuesta impulsional correspondiente se puede calcular utilizando la transformada inversa de Fourier de la respuesta en frecuencia mostrada .

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}e^{i\omega t}}\,d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

Aplicando directamente la definición de respuesta escalón ,

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\sigma t/2}e^{-\tau ^{2}}\,d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

Para determinar el tiempo de subida del 10% al 90% del sistema es necesario resolver para el tiempo las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

Utilizando propiedades conocidas de la función de error , se encuentra el valor t = − t ₁ = t _{2 : dado que} t _r = t ₂ − t ₁ = 2 t     ,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

y finalmente

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^{[ 17 ]}

Para una red RC de paso bajo simple de una sola etapa , ^{[ 18 ]} el tiempo de subida del 10% al 90% es proporcional a la constante de tiempo de la red τ = RC :

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

La constante de proporcionalidad se puede derivar del conocimiento de la respuesta escalón de la red a una señal de entrada de función escalón unitario de amplitud V _{0 :}

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

Resolver para el tiempo

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

y finalmente,

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

Dado que t ₁ y t ₂ son tales que

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

Resolviendo estas ecuaciones encontramos la expresión analítica para t ₁ y t ₂ :

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

Por lo tanto, el tiempo de subida es proporcional a la constante de tiempo: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

Ahora bien, teniendo en cuenta que

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^{[ 20 ]}

entonces

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

y puesto que el corte de alta frecuencia es igual al ancho de banda,

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^{[ 17 ]}

_{Finalmente ,} tenga en cuenta que, si en cambio se considera el tiempo de subida del 20% al 80%, tr se convierte en:

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

Incluso para una red RL paso bajo simple de una sola etapa, el tiempo de subida del 10% al 90% es proporcional a la constante de tiempo de la red τ = L / R. La demostración formal de esta afirmación procede exactamente como se muestra en la sección anterior: la única diferencia entre las expresiones finales para el tiempo de subida se debe a la diferencia en las expresiones para la constante de tiempo τ de los dos circuitos diferentes, lo que en el presente caso conduce al siguiente resultado.

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$