Inductancia

En la práctica, los cables más largos tienen mayor inductancia y los más gruesos menor, de forma análoga a su resistencia eléctrica (aunque las relaciones no son lineales y difieren de las que existen entre la longitud, el diámetro y la resistencia).

Al separar el cable del resto del circuito, se introduce un error inevitable en los resultados de cualquier fórmula. Estas inductancias suelen denominarse «inductancias parciales», en parte para fomentar la consideración de las demás contribuciones a la inductancia total del circuito que se omiten.

Formalmente, la autoinductancia de una espira de alambre estaría dada por la ecuación anterior con${\displaystyle \ m=n\ .}$Sin embargo, aquí${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$se vuelve infinito, lo que lleva a una integral logarítmicamente divergente. ^{[ a ]} ​​Esto requiere tomar el radio de alambre finito${\displaystyle \ a\ }$y la distribución de la corriente en el cable en consideración. Queda la contribución de la integral sobre todos los puntos y un término de corrección, ^{[ 24 ]}

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

dónde

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$y${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$son distancias a lo largo de las curvas${\displaystyle \ C\ }$y${\displaystyle \ C'\ }$respectivamente

${\displaystyle \ a\ }$es el radio del alambre

${\displaystyle \ \ell \ }$es la longitud del cable

${\displaystyle \ Y\ }$es una constante que depende de la distribución de la corriente en el cable:

${\displaystyle \ Y=0\ }$cuando la corriente fluye sobre la superficie del cable ( efecto piel total ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$cuando la corriente se distribuye uniformemente a lo largo de la sección transversal del cable.

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$es un término de error cuyo tamaño depende de la curva del bucle:

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$cuando el bucle tiene esquinas pronunciadas y

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$cuando se trata de una curva suave.

Ambos valores son pequeños cuando el cable es largo en comparación con su radio.

Un solenoide es una bobina larga y delgada; es decir, una bobina cuya longitud es mucho mayor que su diámetro. En estas condiciones, y sin utilizar ningún material magnético, la densidad de flujo magnético${\displaystyle B}$dentro de la bobina es prácticamente constante y viene dado por $${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

dónde${\displaystyle \mu _{0}}$es la constante magnética ,${\displaystyle N}$el número de turnos,${\displaystyle i}$la corriente y${\displaystyle l}$la longitud de la bobina. Ignorando los efectos de los extremos, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo.${\displaystyle B}$por el área de la sección transversal${\displaystyle A}$:$${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

Cuando esto se combina con la definición de inductancia${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$De ello se deduce que la inductancia de un solenoide viene dada por: $${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

Por lo tanto, en el caso de las bobinas con núcleo de aire, la inductancia es función de la geometría de la bobina y del número de espiras, y es independiente de la corriente.

Sea el conductor interno con radio${\displaystyle r_{i}}$y permeabilidad${\displaystyle \mu _{i}}$, dejemos que el dieléctrico entre el conductor interno y el externo tenga permeabilidad${\displaystyle \mu _{d}}$y sea el conductor exterior con radio interior${\displaystyle r_{o1}}$radio exterior${\displaystyle r_{o2}}$y permeabilidad${\displaystyle \mu _{0}}$Sin embargo , para una aplicación típica de línea coaxial, nos interesa transmitir señales (no de CC) a frecuencias en las que no se puede despreciar el efecto pelicular resistivo . En la mayoría de los casos, los términos del conductor interno y externo son despreciables, en cuyo caso se puede aproximar

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

La mayoría de los inductores con núcleo de aire prácticos son bobinas cilíndricas multicapa con secciones transversales cuadradas para minimizar la distancia media entre espiras (las secciones transversales circulares serían mejores, pero más difíciles de fabricar).

Muchos inductores incluyen un núcleo magnético en el centro o que rodea parcialmente el bobinado. En un rango suficientemente amplio, estos núcleos presentan una permeabilidad no lineal con efectos como la saturación magnética . La saturación hace que la inductancia resultante dependa de la corriente aplicada.

La inductancia secante o de gran señal se utiliza en los cálculos de flujo. Se define como:

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

Por otro lado, la inductancia diferencial o de pequeña señal se utiliza para calcular el voltaje. Se define como:

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

La tensión del circuito para un inductor no lineal se obtiene mediante la inductancia diferencial, como lo demuestran la Ley de Faraday y la regla de la cadena del cálculo.

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

Se pueden derivar definiciones similares para la inductancia mutua no lineal.

La inductancia mutua o el coeficiente de inducción mutua de dos bobinas magnéticamente enlazadas es igual al flujo magnético de una bobina por unidad de corriente en la bobina vecina. O

La inductancia mutua o el coeficiente de inducción mutua de dos bobinas unidas magnéticamente es numéricamente igual a la fuerza electromotriz inducida en una bobina (secundaria) por unidad de tiempo de la tasa de cambio de corriente en la bobina vecina (primaria).

Hay dos casos a considerar:

1. La corriente viaja en la misma dirección en cada cable, y
2. La corriente eléctrica circula en direcciones opuestas por los cables.

Las corrientes en los cables no tienen por qué ser iguales, aunque a menudo lo son, como en el caso de un circuito completo, donde un cable es la fuente y el otro el retorno.

Este es el caso generalizado de la bobina cilíndrica paradigmática de dos bucles que transporta una corriente uniforme de baja frecuencia; los bucles son circuitos cerrados independientes que pueden tener diferentes longitudes, cualquier orientación en el espacio y transportar diferentes corrientes. No obstante, los términos de error, que no se incluyen en la integral, son pequeños solo si las geometrías de los bucles son mayormente suaves y convexas: no deben tener demasiadas torceduras, esquinas afiladas, espirales, cruces, segmentos paralelos, cavidades cóncavas u otras deformaciones topológicamente "cercanas". Un predicado necesario para la reducción de la fórmula de integración de la variedad tridimensional a una integral de doble curva es que las trayectorias de la corriente sean circuitos filamentosos, es decir, hilos delgados donde el radio del hilo es despreciable en comparación con su longitud.

La inductancia mutua de un circuito filamentoso${\displaystyle m}$en un circuito filamentoso${\displaystyle n}$viene dada por la fórmula de Neumann de doble integral ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

dónde

${\displaystyle C_{m}}$y${\displaystyle C_{n}}$son las curvas seguidas por los cables.

${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre ( 4 π ×10 ⁻⁷ H/m )

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _m

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$es la posición de${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$en el espacio

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _n

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$es la posición de${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$en el espacio.

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle I_{j}}$es la corriente a través de la${\displaystyle j}$En el cable, esta corriente crea el flujo magnético.${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$a través del${\displaystyle i}$la superficie
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$es el flujo magnético a través de la i- ésima superficie debido al circuito eléctrico delineado por${\displaystyle C_{j}}$: ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

dónde

El teorema de Stokes se ha utilizado para el tercer paso de igualdad. Para el último paso de igualdad, utilizamos la expresión del potencial retardado para${\displaystyle A_{j}}$e ignoramos el efecto del retardo temporal (suponiendo que la geometría de los circuitos es lo suficientemente pequeña en comparación con la longitud de onda de la corriente que transportan). En realidad, se trata de una aproximación, válida únicamente para circuitos locales formados por hilos delgados.

La inductancia mutua se define como la relación entre la fuerza electromotriz inducida en una espira o bobina y la tasa de cambio de la corriente en otra espira o bobina. La inductancia mutua se representa con el símbolo M.

Las ecuaciones de inductancia anteriores son consecuencia de las ecuaciones de Maxwell . Para el caso importante de circuitos eléctricos formados por cables delgados, la deducción es sencilla.

En un sistema de${\displaystyle K}$bucles de alambre, cada uno con una o varias vueltas de alambre, el enlace de flujo del bucle${\displaystyle m}$,${\displaystyle \lambda _{m}}$, se da por $${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

Aquí${\displaystyle N_{m}}$indica el número de vueltas en el bucle${\displaystyle m}$;${\displaystyle \Phi _{m}}$es el flujo magnético a través del bucle${\displaystyle m}$; y${\displaystyle L_{m,n}}$son algunas constantes descritas a continuación. Esta ecuación se deriva de la ley de Ampère : los campos magnéticos y los flujos son funciones lineales de las corrientes . Por la ley de inducción de Faraday , tenemos

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

dónde${\displaystyle v_{m}}$denota el voltaje inducido en el circuito${\displaystyle m}$. Esto concuerda con la definición de inductancia anterior si los coeficientes${\displaystyle L_{m,n}}$se identifican con los coeficientes de inductancia. Debido a que las corrientes totales${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$contribuir a${\displaystyle \Phi _{m}}$También se deduce que${\displaystyle L_{m,n}}$es proporcional al producto de giros${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$.

Multiplicando la ecuación para v _m anterior por i _m dt y sumando sobre m se obtiene la energía transferida al sistema en el intervalo de tiempo dt , $${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

Esto debe coincidir con el cambio de la energía del campo magnético, W , causado por las corrientes. ^{[ 27 ]} La condición de integrabilidad

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

requiere L _m,n  =  L _n,m . La matriz de inductancia, L _m,n , es por lo tanto simétrica. La integral de la transferencia de energía es la energía del campo magnético en función de las corrientes, $${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

Esta ecuación también es consecuencia directa de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Es útil asociar las corrientes eléctricas variables con el aumento o la disminución de la energía del campo magnético. La transferencia de energía correspondiente requiere o genera un voltaje. Una ^analogía mecánica en el caso K  =  1 con energía de campo magnético (1/2) Li² es un cuerpo con masa M , velocidad u y energía cinética (1/2) Mu² ^. La tasa de cambio de la velocidad (corriente) multiplicada por la masa (inductancia) requiere o genera una fuerza (un voltaje eléctrico).

La inductancia mutua se produce cuando el cambio de corriente en un inductor induce una tensión en otro inductor cercano. Es importante como mecanismo de funcionamiento de los transformadores , pero también puede provocar un acoplamiento no deseado entre los conductores de un circuito.

La inductancia mutua,${\displaystyle M_{ij}}$También es una medida del acoplamiento entre dos inductores. La inductancia mutua por circuito${\displaystyle i}$en circuito${\displaystyle j}$viene dada por la fórmula de Neumann de doble integral , véanse las técnicas de cálculo.

La inductancia mutua también tiene la siguiente relación: $${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$ dónde

Una vez que la inductancia mutua${\displaystyle M}$Una vez determinado, puede utilizarse para predecir el comportamiento de un circuito: $${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$ dónde

El signo menos surge debido al sentido de la corriente${\displaystyle i_{2}}$se ha definido en el diagrama. Con ambas corrientes definidas entrando en los puntos el signo de${\displaystyle M}$será positivo (la ecuación se leería con un signo más en su lugar). ^{[ 28 ]}

El coeficiente de acoplamiento es la relación entre la relación de voltaje real en circuito abierto y la relación que se obtendría si todo el flujo se acoplara de un circuito magnético al otro. El coeficiente de acoplamiento se relaciona con la inductancia mutua y las autoinductancias de la siguiente manera. A partir de las dos ecuaciones simultáneas expresadas en la matriz de dos puertos, se obtiene la siguiente relación de voltaje en circuito abierto:

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$ dónde

mientras que la relación si todo el flujo está acoplado es la relación de las espiras, por lo tanto la relación de la raíz cuadrada de las inductancias

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

de este modo,

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$ dónde

El coeficiente de acoplamiento es una forma conveniente de especificar la relación entre una determinada orientación de inductores con inductancia arbitraria. La mayoría de los autores definen el rango como${\displaystyle 0\leq k<1}$, pero algunos ^{[ 29 ]} lo definen como${\displaystyle -1<k<1\,}$. Permitir valores negativos de${\displaystyle k}$captura las inversiones de fase de las conexiones de la bobina y la dirección de los devanados. ^{[ 30 ]}

Los inductores acoplados mutuamente pueden describirse mediante cualquiera de las representaciones de matriz de parámetros de red de dos puertos . Los más directos son los parámetros z , que vienen dados por ^{[ 31 ].}

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.}$$

Los parámetros y vienen dados por

$${\displaystyle [\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.}$$ Dónde${\displaystyle s}$es la variable de frecuencia compleja ,${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$son las inductancias de la bobina primaria y secundaria, respectivamente, y${\displaystyle M}$es la inductancia mutua entre las bobinas.

Cuando se conecta un condensador a través de un devanado de un transformador, convirtiendo dicho devanado en un circuito sintonizado (circuito resonante), se denomina transformador de un solo devanado. Cuando se conecta un condensador a través de ambos devanados, se denomina transformador de doble devanado . Estos transformadores resonantes pueden almacenar energía eléctrica oscilante de forma similar a un circuito resonante y, por lo tanto, funcionan como un filtro paso banda , permitiendo que las frecuencias cercanas a su frecuencia de resonancia pasen del devanado primario al secundario, pero bloqueando otras frecuencias. La inductancia mutua entre los dos devanados, junto con el factor Q del circuito, determina la forma de la curva de respuesta en frecuencia. La ventaja del transformador de doble devanado es que puede tener un ancho de banda mayor que un circuito sintonizado simple. El acoplamiento de los circuitos de doble devanado se describe como débil, crítico o sobreacoplado, dependiendo del valor del coeficiente de acoplamiento.${\displaystyle k}$Cuando dos circuitos sintonizados están débilmente acoplados mediante inductancia mutua, el ancho de banda es estrecho. A medida que aumenta la inductancia mutua, el ancho de banda continúa creciendo. Cuando la inductancia mutua supera el acoplamiento crítico, el pico en la curva de respuesta en frecuencia se divide en dos picos, y a medida que aumenta el acoplamiento, estos dos picos se separan aún más. Esto se conoce como sobreacoplamiento.

Las bobinas autorresonantes fuertemente acopladas pueden utilizarse para la transferencia inalámbrica de energía entre dispositivos a distancias medias (hasta dos metros). ^{[ 35 ]} Se requiere un acoplamiento fuerte para un alto porcentaje de potencia transferida, lo que produce una división de picos en la respuesta de frecuencia. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Cuando${\displaystyle \ k=1\ ,}$Se dice que el inductor está "acoplado estrechamente". Si, además, las autoinductancias tienden al infinito, el inductor se convierte en un " transformador ideal ". En este caso, las tensiones, las corrientes y el número de espiras se pueden relacionar de la siguiente manera:

$${\displaystyle V_{\mathsf {s}}={\frac {\ N_{\mathsf {s}}}{\ N_{\mathsf {p}}}}\ V_{\mathsf {p}}}$$ dónde

Por el contrario, la corriente:

$${\displaystyle I_{\mathsf {s}}={\frac {\ N_{\mathsf {p}}}{\ N_{\mathsf {s}}}}\ I_{\mathsf {p}}}$$ dónde

La potencia que atraviesa un inductor es la misma que la que atraviesa el otro. Estas ecuaciones no tienen en cuenta ninguna fuerza externa ejercida por fuentes de corriente o de tensión.