Álgebra total

En álgebra abstracta , el álgebra total de un monoide es una generalización del anillo de monoides que permite sumas infinitas de elementos de un anillo. Supóngase que S es un monoide con la propiedad de que, para todo , solo existe un número finito de pares ordenados para los que . Sea R un anillo. Entonces, el álgebra total de S sobre R es el conjunto de todas las funciones con la ley de adición dada por la operación (puntual): ${\displaystyle s\en S}$${\displaystyle (t,u)\en S\times S}$${\displaystyle tu=s}$$Estilo de visualización R^{S}}$${\displaystyle \alpha :S\to R}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )(s)=\alpha (s)+\beta (s)}$

y con la ley de multiplicación dada por:

${\displaystyle (\alpha \cdot \beta )(s)=\sum _{tu=s}\alpha (t)\beta (u).}$

La suma en el lado derecho tiene soporte finito y, por lo tanto, está bien definida en R.

Estas operaciones se transforman en un anillo. Hay una incrustación de R en , dada por las funciones constantes, que se transforma en un R -álgebra. $Estilo de visualización R^{S}}$$Estilo de visualización R^{S}}$$Estilo de visualización R^{S}}$

Un ejemplo es el anillo de series de potencias formales , donde el monoide S son los números naturales . El producto es entonces el producto de Cauchy .

• Nicolas Bourbaki (1989), Álgebra , Springer:§III.2