Complejidad topológica

En matemáticas, la complejidad topológica de un espacio topológico X (también denotada por TC( X )) es un invariante topológico estrechamente relacionado con el problema de planificación de movimiento , introducido por Michael Farber en 2003.

Sea X un espacio topológico y${\displaystyle PX=\{\gamma$ Sea el espacio de todos los caminos continuos en X. Defina la proyección : [0,1]\,\to \,X\}} ${\displaystyle \pi :PX\to \,X\times X}$ por${\displaystyle \pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))}$. La complejidad topológica es el número mínimo k tal que

• Existe una cubierta abierta${\displaystyle \{U_{i}\}_{i=1}^{k}}$de${\displaystyle X\times X}$,
• para cada${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$, existe una sección local${\displaystyle s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.}$

• La complejidad topológica: TC( X )  =  1 si y solo si X es contraíble .
• La complejidad topológica de la esfera${\displaystyle S^{n}}$es 2 para n impar y 3 para n par. Por ejemplo, en el caso del círculo${\displaystyle S^{1}}$Podemos definir un camino entre dos puntos como la geodésica que los une, si es única. Cualquier par de puntos antipodales puede conectarse mediante un camino en sentido contrario a las agujas del reloj.
• Si${\displaystyle F(\mathbb {R} ^{m},n)}$es el espacio de configuración de n puntos distintos en el espacio euclidiano m , entonces

${\displaystyle TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {para\,\,{\it {m}}\,\,impar} \\2n-2&\mathrm {para\,\,{\it {m}}\,\,par.} \end{cases}}}$

• La complejidad topológica de la botella de Klein es 5. ^{[ 1 ]}

• Farber, M. (2003). "Complejidad topológica de la planificación de movimiento". Geometría discreta y computacional . Vol.  29, n.º  2, págs. 211–221 . 
• Armindo Costa: Complejidad topológica de los espacios de configuración , tesis doctoral, Universidad de Durham (2010), disponible en línea .

• Complejidad topológica en nLab