transformaciones de Tietze

En teoría de grupos , las transformaciones de Tietze se utilizan para transformar una representación dada de un grupo en otra representación, a menudo más simple, del mismo grupo . Estas transformaciones reciben su nombre de Heinrich Tietze , quien las introdujo en un artículo en 1908. ^{[ 1 ]}

Una presentación se define en términos de generadores y relaciones ; formalmente, la presentación es un par formado por un conjunto de generadores con nombre y un conjunto de palabras del grupo libre sobre los generadores que se consideran las relaciones. Las transformaciones de Tietze se componen de pasos elementales, cada uno de los cuales, individualmente, transforma la presentación en una presentación de un grupo isomorfo . Estos pasos elementales pueden operar sobre generadores o relaciones y son de cuatro tipos.

Si se puede derivar una relación de las relaciones existentes, entonces se puede agregar a la presentación sin cambiar el grupo. Sea G=〈 x | x ³ =1 〉 una presentación finita para el grupo cíclico de orden 3. Multiplicando x ³ =1 en ambos lados por x ³ obtenemos x ⁶ = x ³ = 1, por lo que x ⁶ = 1 se puede derivar de x ³ =1. Por lo tanto, G=〈 x | x ³ =1, x ⁶ =1 〉 es otra presentación para el mismo grupo.

Si una relación en una presentación se puede derivar de las demás, entonces se puede eliminar de la presentación sin afectar al grupo. En G = 〈x | x ³ = 1, x ⁶ = 1 〉 la relación x ⁶ = 1 se puede derivar de x ³ = 1, por lo que se puede eliminar sin problemas. Sin embargo, tenga en cuenta que si se elimina x ^{3 = 1 de la presentación, el grupo} G = 〈x | x ⁶ = 1 〉 define el grupo cíclico de orden 6 y no define el mismo grupo. Debe tenerse cuidado de demostrar que cualquier relación que se elimine es consecuencia de las demás relaciones.

Dada una presentación, es posible agregar un nuevo generador que se expresa como una palabra en los generadores originales. Partiendo de G = 〈x | x ³ = 1 〉 y tomando y = x ^2, la nueva presentación G = 〈x , y | x ³ = 1, y = x ²〉 define el mismo grupo.

Si se puede formar una relación donde uno de los generadores es una palabra en los otros generadores, entonces ese generador puede eliminarse. Para hacer esto, es necesario reemplazar todas las ocurrencias del generador eliminado con su palabra equivalente. La presentación para el grupo abeliano elemental de orden 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y ² =1, z ² =1, x=x ⁻¹〉 puede reemplazarse por G = 〈y , z | y ² = 1, z ² = 1, ( yz ) = ( yz ) ^{− 1}〉 eliminando x .

Sea G = 〈x , y | x ³ = 1, y ² = 1, ( xy ) ² = 1 〉 una presentación para el grupo simétrico de grado tres. El generador x corresponde a la permutación (1,2,3) e y a (2,3). Mediante transformaciones de Tietze, esta presentación se puede convertir en G = 〈y , z | ( zy ) ³ = 1, y ² = 1, z ² = 1 〉, donde z corresponde a (1,2).

El teorema de Tietze establece que cualesquiera dos presentaciones finitas del mismo grupo pueden obtenerse una a partir de la otra mediante una secuencia finita de transformaciones de Tietze.

• Transformación de Nielsen
• Conjetura de Andrews-Curtis

• Roger C. Lyndon , Paul E. Schupp , Teoría combinatoria de grupos , Springer, 2001. ISBN 3-540-41158-5.