El problema de los tres prisioneros

El problema de los tres prisioneros apareció en la columna " Juegos matemáticos " de Martin Gardner en Scientific American en 1959. ^[¹^]^[²^] Es matemáticamente equivalente al problema de Monty Hall con el coche y la cabra reemplazados respectivamente por la libertad y la ejecución. ^[³^]

Problema

Tres prisioneros, A, B y C, se encuentran en celdas separadas y han sido condenados a muerte. El gobernador ha elegido a uno de ellos al azar para indultarlo. El alcaide sabe quién es el indultado, pero no tiene permitido revelarlo. El prisionero A le ruega al alcaide que le diga la identidad de uno de los dos que van a ser ejecutados. «Si indultan a B, dígame el nombre de C. Si indultan a C, dígame el nombre de B. Y si me indultan a mí, lance una moneda al aire en secreto para decidir si me da el nombre de B o el de C».

El alcaide le da el nombre de B. El prisionero A está contento porque cree que su probabilidad de sobrevivir ha aumentado de 1/3 a 1/2 , ya que ahora está entre él y C. El prisionero A le cuenta la noticia en secreto a C, quien razona que la probabilidad de que A sea indultado no ha cambiado en 1/3 , pero está contento porque su propia probabilidad ha aumentado a 2/3 . ¿ Qué prisionero tiene razón?

Solución

La respuesta es que el prisionero A no obtuvo ninguna información sobre su propio destino, ya que sabía que el alcaide le daría el nombre de otra persona. El prisionero A, antes de escuchar al alcaide, estima sus posibilidades de ser indultado en 1/3 , las mismas que B y C. Como el alcaide dice que B será ejecutado, es porque C será indultado ( 1/3 de probabilidad ) o porque A será indultado ( 1/3 de probabilidad ). La moneda que el alcaide lanzó para decidir si nombrar a B o a C salió B ( 1/2 de probabilidad ; para una probabilidad total de 1/2 × 1/3 = 1/6 , B fue nombrado porque A será indultado ) . Por lo tanto, después de escuchar que B será ejecutado, la estimación de la probabilidad de que A sea perdonado es la mitad que la de C. Esto significa que sus probabilidades de ser perdonado, ahora que saben que B no lo será, son nuevamente 1/3 , pero C tiene una probabilidad de 2/3 de ser perdonado.

Mesa

La explicación anterior se puede resumir en la siguiente tabla. Cuando A le pregunta al alcaide, este solo puede responder B o C para ser ejecutado (o "no indultado").

Como el alcaide ha respondido que B no será indultado, la solución proviene de la segunda columna, "no B". Parece que las probabilidades de que A sea indultado frente a C son de 1:2.

Formulación matemática

Llamar $A$ , $B$ y $C$ los eventos que el prisionero correspondiente será indultado, y $b$ el evento de que el alcaide le diga a A que el prisionero B va a ser ejecutado, entonces, usando el teorema de Bayes , la probabilidad posterior de que A sea perdonado es: ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {P(b|A)P(A)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

Por otro lado, la probabilidad de que C sea indultado es:

{\begin{aligned}P(C|b)&={\frac {P(b|C)P(C)}{P(b|A)P(A)+P(b|B)P(B)+P(b|C)P(C)}}\\&={\frac {1\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+0\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

La diferencia crucial que hace que A y C sean desiguales es que $P(b|A)={\tfrac {1}{2}}$ pero $P(b|C)=1$ . Si A es perdonado, el alcaide puede decirle a A que B o C serán ejecutados, y por lo tanto $P(b|A)={\tfrac {1}{2}}$ ; mientras que si C es perdonado, el alcaide solo puede decirle a A que B es ejecutado, por lo que $P(b|C)=1$ .

Una explicación intuitiva

El prisionero A solo tiene una probabilidad de 1/3 de ser indultado. Saber si B o C serán ejecutados no cambia su probabilidad. Después de enterarse de que B será ejecutado, el prisionero A se da cuenta de que si él no recibe el indulto , este solo se le concederá a C. Eso significa que hay una probabilidad de 2/3 de que C reciba el indulto. Esto es comparable al problema de Monty Hall .

Enumeración de casos posibles

Pueden darse los siguientes escenarios:

A es perdonado y el alcaide menciona que B debe ser ejecutado: 1/3 × 1/2 = 1/6 de los casos .
A es indultado y el alcaide menciona que C debe ser ejecutado: 1/3 × 1/2 = 1/6 de los casos .
B es indultado y el alcaide menciona que C debe ser ejecutado: 1/3 de los casos
C es indultado y el alcaide menciona que B debe ser ejecutado: 1/3 de los casos

Con la condición de que el alcaide elija al azar, en el 1/3 del tiempo en que A sea indultado, hay una probabilidad de 1/2 de que diga B y una probabilidad de 1/2 de que diga C. Esto significa que , en general, 1/6 del tiempo ( 1/3 [ que A sea indultado ] × 1/2 [ que el alcaide diga B ] ) , el alcaide dirá B porque A será indultado, y 1/6 del tiempo ( 1/3 [ que A sea indultado] × 1/2 [ que el alcaide diga C ] ) dirá C porque A está siendo indultado . Esto suma un total de ⁠ 1 / 3 ⁠ del tiempo ( ⁠ 1 / 6 ⁠ + ⁠ 1 / 6 ⁠ ) A está siendo indultado, lo cual es exacto.

Ahora está claro que si el alcaide responde B a A ( 1/2 de todos los casos ) , entonces 1/3 de las veces C es perdonado y A aún será ejecutado (caso 4), y solo 1/6 de las veces A es perdonado (caso 1 ) . Por lo tanto , las posibilidades de C son ( 1/3 ) / ( 1/2 ) = 2/3 y las de A son ( 1/6 ) / ( 1/2 ) = 1/3 .

La clave de este problema reside en que el alcaide no puede revelar el nombre de un preso que será indultado. Si eliminamos este requisito, podemos demostrar el problema original de otra manera. El único cambio en este ejemplo es que el preso A le pide al alcaide que revele el destino de otro preso (sin especificar cuál será ejecutado). En este caso, el alcaide lanza una moneda al aire y elige a B o C para revelar su destino. Los casos son los siguientes:

A indultado, dice el alcaide: B ejecutado ( 1 / 6 )
A indultado, dice el alcaide: C ejecutado ( 1 / 6 )
B indultado, dice el alcaide: B indultado ( 1 / 6 )
B indultado, dice el alcaide: C ejecutado ( 1 / 6 )
C indultado, dice el alcaide: B ejecutado ( 1 / 6 )
C indultado, dice el alcaide: C indultado ( 1 / 6 )

Cada escenario tiene una probabilidad de 1/6 . El problema original de los tres prisioneros puede verse de esta manera: el alcaide en ese problema aún tiene estos seis casos, cada uno con una probabilidad de 1/6 de ocurrir . Sin embargo, el alcaide en el caso original no puede revelar el destino de un prisionero indultado. Por lo tanto, en el caso 3 , por ejemplo, dado que decir "B es indultado" no es una opción, el alcaide dice "C es ejecutado" en su lugar (lo que lo hace igual que el caso 4). Eso deja los casos 4 y 5 cada uno con una probabilidad de 1/3 de ocurrir y nos deja con la misma probabilidad que antes.

¿Por qué la paradoja?

La tendencia de las personas a dar la respuesta 1/2 probablemente se deba a una tendencia a ignorar el contexto que puede parecer irrelevante. Por ejemplo, la forma en que se plantea la pregunta al alcaide puede afectar la respuesta. Esto se puede demostrar considerando un caso modificado, donde $P(A)={\frac {1}{4}},P(B)={\frac {1}{4}},P(C)={\frac {1}{2}}$ y todo lo demás sobre el problema permanece igual. ^{[ 4 ]} Usando el teorema de Bayes una vez más:

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{5}}.\end{aligned}}

Sin embargo, si A simplemente pregunta si B será ejecutado, y el alcaide responde "sí", la probabilidad de que A sea indultado se convierte en:

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {1\times {\tfrac {1}{4}}}{1\times {\tfrac {1}{4}}+0\times {\tfrac {1}{4}}+1\times {\tfrac {1}{2}}}}={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

^{[ 4 ]}

Una suposición similar es que A planea de antemano solicitar esta información al alcaide. Un caso similar al anterior se presenta si A no planea solicitar nada al alcaide y este simplemente le informa que ejecutará a B. ^{[ 5 ]}

Otra suposición que probablemente se pasa por alto es que el alcaide tiene una elección probabilística. Definamos $p$ como la probabilidad condicional de que el alcaide nombre a B dado que C será ejecutado. La probabilidad condicional $P(A|b)$ entonces se puede expresar como: ^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}P(A|b)&={\frac {p}{p+1}}\end{aligned}}

Si asumimos que $p=1$ , es decir, que no tomamos en cuenta que el guardián está haciendo una elección probabilística, entonces $P(A|b)={\frac {1}{2}}$ Sin embargo, la realidad del problema es que el alcaide está lanzando una moneda al aire ( $p={\frac {1}{2}}$ ), entonces $P(A|b)={\frac {1}{3}}$ . ^{[ 5 ]}

Judea Pearl (1988) utilizó una variante de este ejemplo para demostrar que las actualizaciones de creencias deben depender no solo de los hechos observados, sino también del experimento (es decir, la consulta) que condujo a esos hechos. ^{[ 7 ]}

Problemas y aplicaciones relacionados

El problema de Monty Hall
Paradoja de niño o niña
Principio de elección restringida , una aplicación en el juego de cartas bridge.
El dilema del prisionero , un problema de teoría de juegos.
El problema de La Bella Durmiente
Problema de dos sobres

Referencias

↑ Gardner, Martin (octubre de 1959). "Juegos matemáticos: problemas que implican cuestiones de probabilidad y ambigüedad". Scientific American . 201 (4): 174– 182. doi : 10.1038/scientificamerican1059-174 .
↑ Gardner, Martin (1959). "Juegos matemáticos: cómo tres matemáticos modernos refutaron una célebre conjetura de Leonhard Euler". Scientific American . 201 (5): 188. doi : 10.1038/scientificamerican1159-181 .
↑ Bailey, Herb (2000). "Monty Hall utiliza una estrategia mixta". Mathematics Magazine . 73 (2): 135– 141. JSTOR 2691085 .
1 2 3 Shimojo, Shinsuke; Ichikawa, Shin'Ichi (agosto de 1990). "Razonamiento intuitivo sobre la probabilidad: análisis teóricos y experimentales del "problema de los tres prisioneros"". Cognición . 36 (2): 205. doi : 10.1016/0010-0277(89)90012-7 . PMID 2752704 . S2CID 45658299 .
1 2 Wechsler, Sergio; Esteves, LG; Simonis, A.; Peixoto, C. (febrero de 2005). "Indiferencia, neutralidad e informatividad: generalizando la paradoja de los tres prisioneros" . Synthese . 143 ( 3): 255– 272. doi : 10.1007/s11229-005-7016-1 . JSTOR 20118537. S2CID 16773272. Recuperado el 15 de diciembre de 2021 .
↑ Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Serie Wiley de Probabilidad y Estadística Matemática (Tercera edición de la edición original de 1979). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. Ejercicio 33.3, págs. 441 y 576. ISBN 0-471-00710-2. MR 1324786 .
↑ Pearl, Judea (1988). Razonamiento probabilístico en sistemas inteligentes: redes de inferencia plausible (Primera ed.). San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. págs. 58–60 . ISBN 978-1-55860-479-7.

Lecturas adicionales

Frederick Mosteller , Cincuenta problemas desafiantes de probabilidad , pág. 28, en Google Libros .
Richard Isaac, Los placeres de la probabilidad , pág. 24, en Google Libros .

[1] Gardner, Martin (octubre de 1959). "Juegos matemáticos: problemas que implican cuestiones de probabilidad y ambigüedad". Scientific American . 201 (4): 174– 182. doi : 10.1038/scientificamerican1059-174 .

[Gardner1959b-2] Gardner, Martin (1959). "Juegos matemáticos: cómo tres matemáticos modernos refutaron una célebre conjetura de Leonhard Euler". Scientific American . 201 (5): 188. doi : 10.1038/scientificamerican1159-181 .

[3] Bailey, Herb (2000). "Monty Hall utiliza una estrategia mixta". Mathematics Magazine . 73 (2): 135– 141. JSTOR 2691085 .

[Shimojo-4] 1 2 3 Shimojo, Shinsuke; Ichikawa, Shin'Ichi (agosto de 1990). "Razonamiento intuitivo sobre la probabilidad: análisis teóricos y experimentales del "problema de los tres prisioneros"". Cognición . 36 (2): 205. doi : 10.1016/0010-0277(89)90012-7 . PMID 2752704 . S2CID 45658299 .

[Wechsler-5] 1 2 Wechsler, Sergio; Esteves, LG; Simonis, A.; Peixoto, C. (febrero de 2005). "Indiferencia, neutralidad e informatividad: generalizando la paradoja de los tres prisioneros" . Synthese . 143 ( 3): 255– 272. doi : 10.1007/s11229-005-7016-1 . JSTOR 20118537. S2CID 16773272. Recuperado el 15 de diciembre de 2021 .

[6] Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Serie Wiley de Probabilidad y Estadística Matemática (Tercera edición de la edición original de 1979). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. Ejercicio 33.3, págs. 441 y 576. ISBN 0-471-00710-2. MR 1324786 .

[7] Pearl, Judea (1988). Razonamiento probabilístico en sistemas inteligentes: redes de inferencia plausible (Primera ed.). San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. págs. 58–60 . ISBN 978-1-55860-479-7.

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