Arco con asa de cesta

Los arquitectos antiguos otorgaban gran importancia a los métodos utilizados para definir el contorno del arco de asa de cesta. La flexibilidad inherente a estos procesos permitía una amplia variedad de configuraciones, lo que llevó a muchos arquitectos a preferir este tipo de curva a la elipse, cuyo contorno está rígidamente determinado por principios geométricos. ^{[ 17 ]}

En el caso de una elipse, la apertura de una bóveda y la altura en el centro —correspondientes a los ejes mayor y menor— dan como resultado puntos fijos a lo largo de la curva del intradós , sin dejar margen para modificaciones arquitectónicas. Por el contrario, la curva multicéntrica ofrece mayor libertad de diseño, permitiendo a los arquitectos ajustar la base y el vértice de la curva según sus preferencias, dependiendo de la disposición de los centros. Esta adaptabilidad convirtió al arco de asa de cesta en una opción atractiva para quienes buscaban flexibilidad estética. ^{[ 17 ]}

Las ventajas de este enfoque de diseño fueron significativas: el establecimiento de ranuras a escala real se percibió como más fácil y preciso, lo que permitió el diseño inmediato en el sitio de las normales y las juntas de los segmentos. ^{[ 18 ]}

El número de formas de dovelas estaba limitado por el número de radios distintos empleados, mientras que para los arcos elípticos, este número era típicamente igual a la mitad del número de dovelas más uno. ^{[ 18 ]}

Sin embargo, la discontinuidad de la disposición provocó la aparición de dovelas antiestéticas, que no siempre pudieron eliminarse durante los trabajos de restauración. ^{[ 18 ]}

Aunque el arco de asa de cesta no se utilizó para bóvedas de puentes en la antigüedad, sí se empleó en la construcción de otros tipos de bóvedas. Herón de Alejandría , autor de tratados matemáticos más de un siglo antes de nuestra era, describió un método sencillo para trazar este arco. ^{[ 19 ]}

En el método de Herón, si AB representa el ancho de la bóveda proyectada y la altura (o contrahuella) es indeterminada, se describe una semicircunferencia sobre AB. Se traza una línea vertical OC que pasa por el punto C de este arco, y se construye una tangente mn en el punto C. Las longitudes Cm y Cn se consideran iguales a la mitad del radio del arco. Al unir los puntos mO y nO, se establecen los puntos D y E. A continuación, se traza un triángulo isósceles DOE, cuya base es igual a la altura del arco. Después, el segmento de línea DA se divide en cuatro partes iguales, y se trazan paralelas a DO que pasan por estos puntos de división (a, b, c). Las intersecciones de estas paralelas con el eje horizontal AB y el eje vertical extendido CO proporcionan los centros necesarios para trazar diversas curvas con tres centros a lo largo de AB, a menudo denominadas óvalo antiguo. ^{[ 19 ]}

A medida que el arco de asa de cesta se hizo más común en la construcción de puentes, surgieron numerosos procedimientos para trazarlo, lo que llevó a un aumento en el número de centros utilizados. ^{[ 20 ]} El objetivo era crear curvas perfectamente continuas con un contorno estéticamente agradable. Dada la naturaleza indeterminada del problema, a menudo se imponían ciertas condiciones de forma arbitraria para lograr el resultado deseado.

Por ejemplo, en ocasiones se aceptaba que los arcos de los círculos que componen la curva debían corresponder a ángulos iguales en el centro, mientras que en otras, se requería que estos arcos tuvieran la misma longitud. Además, se permitía que la amplitud de los ángulos o la longitud de los radios sucesivos variaran según proporciones específicas.

También se estableció una relación constante entre el descenso del arco y el número de centros utilizados para trazar la curva del intradós. Este descenso se mide mediante la relación entre la altura (b) y el ancho del arco (2a), expresada como b/2a. Las relaciones aceptables pueden incluir un tercio, un cuarto o un quinto; sin embargo, si la relación es inferior a un quinto, generalmente se prefiere un arco circular al arco de asa de cesta o elipse. Para pendientes más pronunciadas, es recomendable emplear al menos cinco centros, y algunos diseños utilizan hasta once, como se observa en la curva del puente Neuilly, o incluso hasta diecinueve para el puente Signac. Dado que uno de los centros siempre debe estar situado sobre el eje vertical, los centros restantes se disponen simétricamente, lo que resulta en un número total de centros impar.

Para construir curvas con tres centros, Huyghens describe un método que consiste en trazar arcos de radios variables que corresponden a ángulos iguales, específicamente ángulos de 60 grados. ^{[ 21 ]}

Para empezar, sea AB la abertura y OE la flecha de la bóveda. Desde el centro O, se traza un arco AMF con radio OA. El arco AM mide un sexto de la circunferencia, es decir, su cuerda es igual al radio OA. Se trazan las cuerdas AM y MF, seguidas de una línea Em que pasa por el punto E, el extremo del eje menor, paralela a MF.

La intersección de las cuerdas AM y Em determina el punto m, el límite del primer arco. Al trazar la línea mP paralela a MO, se establecen los puntos n y P como los dos centros necesarios para la construcción. El tercer centro n se sitúa a una distancia n'O del eje OE, igual a nO.

El análisis de la figura revela que los tres arcos —Am, mEm' y m'B— componen la curva y corresponden a ángulos iguales en los centros Anm, mPm' y m'n'B, todos de 60 grados. ^{[ 21 ]}

Charles Bossut propuso un método más eficiente para trazar una curva de tres centros, lo que simplifica el proceso.

En este método, AB representa la abertura y OE denota la flecha de la bóveda, sirviendo como ejes mayor y menor de la curva. Para comenzar, se traza el segmento de línea AE. Desde el punto E, se toma un segmento EF', igual a la diferencia entre OA y OE. Luego se traza una línea perpendicular desde el punto medio m de AF'. Los puntos n y P, donde esta perpendicular interseca el eje mayor y la prolongación del eje menor, sirven como los dos centros necesarios para la construcción. ^{[ 22 ]}

Al utilizar la misma apertura y elevación, la curva producida por este método muestra una desviación mínima con respecto a las generadas por técnicas anteriores.

En un artículo publicado en 1831, el matemático Michal abordó el problema de la construcción de curvas con un enfoque científico. Desarrolló tablas que contenían los datos necesarios para trazar curvas con 5, 7 y 9 centros, logrando resultados precisos sin necesidad de ensayo y error.

El método de cálculo de Michal es aplicable a curvas con cualquier número de centros. Observó que las condiciones necesarias para resolver el problema pueden ser algo arbitrarias. Para abordar esto, propuso que las curvas se construyeran utilizando arcos de círculo que subtendieran ángulos iguales o arcos de igual longitud. Sin embargo, para determinar completamente los radios de estos arcos, también postuló que los radios debían corresponder a los radios de curvatura de una elipse centrada en el punto medio de cada arco, donde la abertura sirve como eje mayor y el ascenso funciona como eje menor. ^{[ 23 ]}

A medida que aumenta el número de centros, la curva resultante se aproxima a la forma de una elipse con la misma abertura y pendiente.

La siguiente tabla ilustra la construcción de un arco con asa de cesta, caracterizado por ángulos iguales subtendidos por los distintos arcos que lo componen. Los valores proporcionales de los radios iniciales se calculan utilizando la mitad de la abertura como unidad de medida. Además, el voladizo se define como la relación entre la flecha (la distancia vertical desde el punto más alto del arco hasta la línea que conecta sus extremos) y la abertura total. ^{[ 23 ]}

La tabla proporcionada permite la construcción sencilla de un arco con asa de cesta y cualquier abertura especificada, utilizando cinco, siete o nueve centros, eliminando la necesidad de cálculos complejos. La única condición es que la caída coincida con uno de los valores propuestos por Michal.

Por ejemplo, para dibujar una curva con siete centros, una abertura de 12 metros y una pendiente de 3 metros que corresponde a una caída de un cuarto (o 0,25), el primer y el segundo radio se pueden calcular de la siguiente manera: 6 × 0,265 y 6 × 0,419, lo que da como resultado valores de 1,594 metros y 2,514 metros, respectivamente.

Para trazar la curva dentro de un rectángulo etiquetado como ABCD, se comienza describiendo un semicírculo sobre el segmento AB, que sirve como diámetro, y se divide en siete partes iguales. A continuación, se trazan las cuerdas Aa, ab, bc y cd, donde la cuerda cd representa la mitad de la división.

En el eje AB, desde el punto A, se mide una longitud de 1,590 metros para establecer el primer centro, denominado m₁ _. Se traza una línea paralela con radio Oₐ _{que pasa por este punto e interseca la cuerda Aa en el punto n, marcando así} el extremo del primer arco. Desde el punto n, se mide una longitud _{nm₂ igual a 2,514 metros para identificar el segundo centro, m₂} . Se traza una línea paralela con radio Oₐ desde el punto _m₂ , mientras que desde el punto n se traza una línea paralela a la cuerda ab. La intersección de estas dos paralelas en el punto n′ define el extremo del segundo arco. ^{[ 24 ]}

Continuando con este proceso, se traza una paralela desde el punto n′ hasta la cuerda bc, y desde el punto E, se traza una paralela hasta la cuerda cd. La intersección de estas dos líneas en el punto n′′ se utiliza para trazar una paralela al radio O _c . Los puntos m ₃ y m ₄ , donde esta línea interseca las extensiones del radio n′m ₂ y el eje vertical, se convierten en el tercer y cuarto centro. Los tres centros finales, m ₅ , m ₆ , y m _7, se posicionan simétricamente con respecto a los tres primeros centros m ₁ , m ₂ , y m ₃ . ^{[ 25 ]}

Como se ilustra en la figura, los arcos An, nn′, n′n′′, etc., subtienden ángulos iguales en sus centros, específicamente 51° 34' 17" 14'. Además, al construir una semielipse con AB como eje mayor y OE como eje menor, se observa que los arcos de la semielipse, contenidos dentro de los mismos ángulos que los arcos circulares, poseen un radio de curvatura igual al de los propios arcos.

Este método demuestra la facilidad con la que se pueden construir curvas con cinco, siete o nueve centros.

Tras las aportaciones del Sr. Michal, el tema fue profundizado por el Sr. Lerouge, ingeniero jefe de Ponts et Chaussées. Lerouge desarrolló tablas para construir curvas con tres, cinco, siete e incluso hasta quince centros.

Su enfoque se diferencia de la metodología de Michal al estipular que los radios sucesivos deben aumentar según una progresión aritmética. Este requisito implica que los ángulos formados entre los radios no necesariamente tienen que ser iguales, lo que permite una mayor flexibilidad en el diseño de las curvas.

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