Consecuencia tautológica

En lógica proposicional , la consecuencia tautológica es una forma estricta de consecuencia lógica ^{[ 1 ]} en la que la tautología de una proposición se conserva de una línea de una demostración a la siguiente. No todas las consecuencias lógicas son consecuencias tautológicas. Una proposición${\displaystyle Q}$Se dice que es una consecuencia tautológica de una o más proposiciones (${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$, ...,${\displaystyle P_{n}}$) en una prueba con respecto a algún sistema lógico si uno puede introducir válidamente la proposición en una línea de la prueba dentro de las reglas del sistema; y en todos los casos en que cada uno de (${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$, ...,${\displaystyle P_{n}}$) son verdaderas, la proposición${\displaystyle Q}$También es cierto.

Otra forma de expresar esta preservación de la tautología es mediante el uso de tablas de verdad . Una proposición${\displaystyle Q}$Se dice que es una consecuencia tautológica de una o más proposiciones (${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$, ...,${\displaystyle P_{n}}$) si y solo si en cada fila de una tabla de verdad conjunta que asigna "T" a todas las proposiciones (${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$, ...,${\displaystyle P_{n}}$) la tabla de verdad también asigna "T" a${\displaystyle Q}$.

a = "Sócrates es un hombre." b = "Todos los hombres son mortales." c = "Sócrates es mortal."

a

b

${\displaystyle {\therefore c}}$

La conclusión de este argumento es una consecuencia lógica de las premisas, ya que es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

Al revisar la tabla de verdad, resulta que la conclusión del argumento no es una consecuencia tautológica de la premisa. No todas las filas que asignan T a la premisa también asignan T a la conclusión. En particular, es la segunda fila la que asigna T a a ∧ b , pero no asigna T a c .

La consecuencia tautológica también puede definirse como${\displaystyle P_{1}}$∧${\displaystyle P_{2}}$∧ ... ∧${\displaystyle P_{n}}$→${\displaystyle Q}$es una instancia de sustitución de una tautología, con el mismo efecto. ^{[ 2 ]}

De la definición se deduce que si una proposición p es una contradicción, entonces p implica tautológicamente a todas las demás proposiciones, ya que no existe ninguna valuación de verdad que haga que p sea verdadera y, por lo tanto, la definición de implicación tautológica se satisface trivialmente. De manera similar, si p es una tautología, entonces p está implicada tautológicamente por todas las proposiciones.

• Consecuencia lógica
• Tautología (lógica)
• Tabla de verdad

• Barwise, Jon y John Etchemendy . Lenguaje, demostración y lógica . Stanford: CSLI (Center for the Study of Language and Information) Publications, 1999. Impreso.
• Kleene, SC (1967) Lógica matemática , reimpreso en 2002, Dover Publications , ISBN 0-486-42533-9.