Curva tautócrona

Una curva tautocrónica o isócrona ( del griego antiguo ταὐτό ( tauto- ) ' mismo ' , ἴσος ( isos- ) ' igual ' y χρόνος ( chronos ) ' tiempo ' ) es aquella curva en la que el tiempo que tarda un objeto en deslizarse sin fricción en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida en la curva. La curva es una cicloide , y el tiempo es igual a π veces la raíz cuadrada del radio del círculo que la genera, dividido por la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad . La curva tautocrónica está relacionada con la curva braquistócrona , que también es una cicloide.   

El problema de la tautócrona, el intento de identificar esta curva, fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente en su Horologium Oscillatorium , publicado originalmente en 1673, que la curva es una cicloide .

En una cicloide cuyo eje se erige sobre la perpendicular y cuyo vértice se encuentra en la parte inferior, los tiempos de descenso, en los que un cuerpo llega al punto más bajo en el vértice después de haber partido de cualquier punto de la cicloide, son iguales entre sí  ... ^{[ 1 ]}

La cicloide viene dada por un punto en un círculo de radio${\displaystyle r}$trazando una curva mientras el círculo rueda a lo largo de la${\displaystyle x}$eje, como: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$$

Nótese que una tautócrona, tal como se dibuja típicamente, donde los objetos se deslizan hacia abajo en dirección al origen, se traza en cambio mediante la cicloide de un círculo que rueda boca abajo a lo largo de la línea.${\displaystyle y=2r}$, de tal manera que: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta +\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$$

Huygens también demostró que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia que el diámetro del círculo que genera la cicloide, multiplicado por${\displaystyle \pi /2}$En términos modernos, esto significa que el tiempo de descenso es${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$, dónde${\displaystyle r}$es el radio del círculo que genera la cicloide, y${\displaystyle g}$es la gravedad de la Tierra , o más precisamente, la aceleración gravitacional de la Tierra.

Esta solución se utilizó posteriormente para resolver el problema de la curva braquistócrona . Johann Bernoulli resolvió el problema en un artículo ( Acta Eruditorum , 1697).

El problema de la tautócrona fue estudiado con mayor detenimiento por Huygens al percatarse de que un péndulo, que describe una trayectoria circular, no era isócrono y, por lo tanto, su reloj de péndulo marcaba una hora diferente según la amplitud de su oscilación. Tras determinar la trayectoria correcta, Christiaan Huygens intentó crear relojes de péndulo que utilizaran una cuerda para suspender la masa y las mejillas de la cuerda cerca de su extremo superior, con el fin de modificar la trayectoria hacia la curva de la tautócrona. Estos intentos resultaron infructuosos por varias razones. En primer lugar, la flexión de la cuerda provoca fricción, alterando la sincronización. En segundo lugar, existían fuentes de error de sincronización mucho más significativas que superaban cualquier mejora teórica que pudiera aportar el desplazamiento a lo largo de la curva de la tautócrona. Finalmente, el "error circular" de un péndulo disminuye a medida que disminuye la amplitud de su oscilación, por lo que unos mejores escapes de reloj podrían reducir considerablemente esta fuente de imprecisión.

Posteriormente, los matemáticos Joseph Louis Lagrange y Leonhard Euler proporcionaron una solución analítica al problema.

Para un oscilador armónico simple liberado desde el reposo, independientemente de su desplazamiento inicial, el tiempo que tarda en alcanzar el punto de energía potencial más bajo es siempre un cuarto de su período, que es independiente de su amplitud. Por lo tanto, el lagrangiano de un oscilador armónico simple es isócrono .

En el problema de la tautócrona, si la posición de la partícula se parametriza mediante la longitud de arco s ( t ) desde el punto más bajo, la energía cinética es entonces proporcional a${\displaystyle {\dot {s}}^{2}}$y la energía potencial es proporcional a la altura h ( s ) . Una forma en que la curva en el problema de la tautócrona puede ser una isócrona es si el lagrangiano es matemáticamente equivalente a un oscilador armónico simple; es decir, la altura de la curva debe ser proporcional al cuadrado de la longitud del arco:

${\displaystyle h(s)=s^{2}/(8r),}$

donde la constante de proporcionalidad es${\displaystyle 1/(8r)}$. En comparación con el lagrangiano del oscilador armónico simple , la constante elástica equivalente es${\displaystyle k=mg/(4r)}$y el momento del descenso es${\displaystyle T/4={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {m}{k}}}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$Sin embargo, el significado físico de la constante${\displaystyle r}$No quedará claro hasta que determinemos la ecuación analítica exacta de la curva.

Para resolver la ecuación analítica de la curva, observe que la forma diferencial de la relación anterior es

${\displaystyle {\begin{aligned}dh&=s\,ds/(4r),\\dh^{2}&=s^{2}\,ds^{2}/(16r^{2})=h\left(dx^{2}+dh^{2}\right)/(2r),\\\left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}&={\frac {2r}{h}}-1\end{aligned}}}$

which eliminates s, and leaves a differential equation for dx and dh. This is the differential equation for a cycloid when the vertical coordinate h is counted from its vertex (the point with a horizontal tangent) instead of the cusp.

To find the solution, integrate for x in terms of h:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dh}}&=-{\frac {\sqrt {2r-h}}{\sqrt {h}}},\\x&=-4r\int {\sqrt {1-u^{2}}}\,du,\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle u={\sqrt {h/(2r)}}}$, and the height decreases as the particle moves forward ${\displaystyle dx/dh<0}$. This integral is the area under a circle, which can be done with another substitution ${\displaystyle u=\cos(t/2)}$ and yield:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t),\\h&=r(1+\cos t).\end{aligned}}}$

This is the standard parameterization of a cycloid with ${\displaystyle h=2r-y}$. It's interesting to note that the arc length squared is equal to the height difference multiplied by the full arch length ${\displaystyle 8r}$.

The simplest solution to the tautochrone problem is to note a direct relation between the angle of an incline and the gravity felt by a particle on the incline. A particle on a 90° vertical incline undergoes full gravitational acceleration ${\displaystyle g}$, while a particle on a horizontal plane undergoes zero gravitational acceleration. At intermediate angles, the acceleration due to "virtual gravity" by the particle is ${\displaystyle g\sin \theta }$. Note that ${\displaystyle \theta }$ is measured between the tangent to the curve and the horizontal, with angles above the horizontal being treated as positive angles. Thus, ${\displaystyle \theta }$ varies from ${\displaystyle -\pi /2}$ to ${\displaystyle \pi /2}$.

The position of a mass measured along a tautochrone curve, ${\displaystyle s(t)}$, must obey the following differential equation:

${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}=-\omega ^{2}s}$

which, along with the initial conditions ${\displaystyle s(0)=s_{0}}$ and ${\displaystyle s'(0)=0}$, has solution:

${\displaystyle s(t)=s_{0}\cos \omega t}$

It can be easily verified both that this solution solves the differential equation and that a particle will reach ${\displaystyle s=0}$ at time ${\displaystyle \pi /2\omega }$ from any starting position ${\displaystyle s_{0}}$. The problem is now to construct a curve that will cause the mass to obey the above motion. Newton's second law shows that the force of gravity and the acceleration of the mass are related by:

${\displaystyle {\begin{aligned}-g\sin \theta &={\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}\\&=-\omega ^{2}s\,\end{aligned}}}$

The explicit appearance of the distance, ${\displaystyle s}$, is troublesome, but we can differentiate to obtain a more manageable form:

${\displaystyle {\begin{aligned}g\cos \theta \,d\theta &=\omega ^{2}\,ds\\\Longrightarrow ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

This equation relates the change in the curve's angle to the change in the distance along the curve. We now use trigonometry to relate the angle ${\displaystyle \theta }$ to the differential lengths ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ and ${\displaystyle ds}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds={\frac {dx}{\cos \theta }}\\ds={\frac {dy}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

Replacing ${\displaystyle ds}$ with ${\displaystyle dx}$ in the above equation lets us solve for ${\displaystyle x}$ in terms of ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dx}{\cos \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)d\theta \\x&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

Likewise, we can also express ${\displaystyle ds}$ in terms of ${\displaystyle dy}$ and solve for ${\displaystyle y}$ in terms of ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dy}{\sin \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}$

Substituting ${\displaystyle \phi =2\theta }$ and ${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$, we see that these parametric equations for ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ are those of a point on a circle of radius ${\displaystyle r}$ rolling along a horizontal line (a cycloid), with the circle center at the coordinates ${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\sin \phi +\phi \right)+C_{x}\\y&=-r\cos \phi +C_{y}\end{aligned}}}$

Note that ${\displaystyle \phi }$ ranges from ${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$. It is typical to set ${\displaystyle C_{x}=0}$ and ${\displaystyle C_{y}=r}$ so that the lowest point on the curve coincides with the origin. Therefore:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\phi +\sin \phi \right)\\y&=r\left(1-\cos \phi \right)\\\end{aligned}}}$

Solving for ${\displaystyle \omega }$ and remembering that ${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$es el tiempo requerido para el descenso, siendo un cuarto de un ciclo completo, encontramos el tiempo de descenso en términos del radio${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\\\omega &={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{aligned}}}$

(Basado libremente en Proctor , págs.  135-139)

Niels Henrik Abel atacó una versión generalizada del problema de la tautócrona (el problema mecánico de Abel ), a saber, dada una función${\displaystyle T(y)}$que especifica el tiempo total de descenso para una altura inicial dada, encuentre una ecuación de la curva que produzca este resultado. El problema de la tautócrona es un caso especial del problema mecánico de Abel cuando${\displaystyle T(y)}$es una constante.

La solución de Abel comienza con el principio de conservación de la energía : dado que la partícula no tiene fricción y, por lo tanto, no pierde energía en forma de calor , su energía cinética en cualquier punto es exactamente igual a la diferencia de energía potencial gravitatoria desde su punto de partida. La energía cinética es${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$y dado que la partícula está obligada a moverse a lo largo de una curva, su velocidad es simplemente${\displaystyle {d\ell }/{dt}}$, dónde${\displaystyle \ell }$es la distancia medida a lo largo de la curva. Del mismo modo, la energía potencial gravitatoria ganada al caer desde una altura inicial${\displaystyle y_{0}}$a una altura${\displaystyle y}$es${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$, de este modo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell }{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{aligned}}}$

En la última ecuación, hemos anticipado escribir la distancia restante a lo largo de la curva como una función de la altura (${\displaystyle \ell (y))}$, reconoció que la distancia restante debe disminuir a medida que aumenta el tiempo (de ahí el signo menos), y utilizó la regla de la cadena en la forma${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$.

Ahora integramos desde${\displaystyle y=y_{0}}$a${\displaystyle y=0}$Para obtener el tiempo total necesario para que la partícula caiga:

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

Esta se llama ecuación integral de Abel y nos permite calcular el tiempo total requerido para que una partícula caiga a lo largo de una curva dada (para la cual${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$sería fácil de calcular). Pero el problema mecánico de Abel requiere lo contrario, dado${\displaystyle T(y_{0})\,}$, deseamos encontrar${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$, de la cual se obtendría una ecuación para la curva de manera directa. Para continuar, observamos que la integral de la derecha es la convolución de${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$con${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$y así tomar la transformada de Laplace de ambos lados con respecto a la variable${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

dónde${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$. Desde${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$, ahora tenemos una expresión para la transformada de Laplace de${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$en términos de la transformada de Laplace de${\displaystyle T(y_{0})}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

Hasta aquí podemos llegar sin especificar${\displaystyle T(y_{0})}$. Una vez${\displaystyle T(y_{0})}$es conocido, podemos calcular su transformada de Laplace, calcular la transformada de Laplace de${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$y luego tomar la transformada inversa (o intentarlo) para encontrar${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$.

Para el problema de la tautócrona,${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$es constante. Dado que la transformada de Laplace de 1 es${\displaystyle {1}/{s}}$, es decir,${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$, encontramos la función de forma${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)={\mathcal {L}}{\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]}&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

Utilizando nuevamente la transformada de Laplace anterior, invertimos la transformada y concluimos:

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

( Simmons , Sección 54).

Utilizando el hecho de que${\displaystyle \left({\frac {d\ell }{dy}}\right)^{2}=\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1}$, podemos reescribir lo anterior como:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1=T_{0}^{2}{\frac {2g}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{y}}}$

Dejar:

${\displaystyle r={\frac {T_{0}^{2}g}{\pi ^{2}}}}$

De modo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1&={\frac {2r}{y}}\\\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}&={\frac {2r-y}{y}}\\dx&={\sqrt {\frac {2r-y}{y}}}\,dy\end{aligned}}}$

Para integrar, sustituya:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\dy&=2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$

Ahora podemos reescribir la ecuación para${\displaystyle dx}$como:

${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\sqrt {\frac {2r-2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r{\sqrt {\frac {1-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r{\sqrt {\frac {\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=r(\cos \theta +1)\,d\theta \end{aligned}}}$

La integración de ambas partes da como resultado:

${\displaystyle x=r(\theta +\sin \theta )}$

Y como parametrizamos${\displaystyle y}$como:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$

Ahora tenemos ecuaciones para ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$parametrizado por${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta +\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$

que trazan una tautócrona situada encima de la${\displaystyle x}$eje.

(Basado en O'Neil , págs. 263-264)

• identidad Beltrami
• Curva braquistócrona
• Cálculo de variaciones
• De cadena
• Cicloide
• movimiento uniformemente acelerado

• Simmons, George (1972). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas . McGraw-Hill. ISBN 0-07-057540-1.
• Proctor, Richard Anthony (1878). Un tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales, y sobre el uso de dichas curvas para tratar los movimientos de los planetas, cometas, etc., y de la materia proyectada desde el Sol .
• O'Neil, Peter V. (1983). Matemáticas avanzadas para ingeniería . Belmont, California: Wadsworth Pub. Co. pp. 263–264 . ISBN  0-534-01136-5.

• Mundo matemático