Enjambres

Los enjambres ^{[ 1 ]} son ​​generalizaciones de los osciladores de fase ^{[ 2 ]} que se agrupan en el espacio mientras se sincronizan en el tiempo. Se introdujeron para modelar los diversos sistemas del mundo real que se sincronizan y forman enjambres, como las anguilas de vinagre ^{[ 3 ]} , las paredes de dominio magnético ^{[ 4 ]} y las ranas arborícolas japonesas ^{[ 5 ]} . Formalmente, son unidades dinámicas con grados de libertad espaciales e internos cuyas dinámicas están acopladas.

La formación de enjambres ^{[ 6 ]} ocurre en diversos ámbitos de la naturaleza y la tecnología, algunos de los cuales se analizan a continuación. La figura de la derecha muestra algunos ejemplos en un gráfico de (disciplina, número de partículas).

Microorganismos biológicos nadadores . Los espermatozoides , las anguilas de vinagre y potencialmente otros nadadores como C. elegans se desplazan por el espacio mediante el batido rítmico de sus colas. Este batido puede sincronizarse con el de un nadador vecino mediante acoplamiento hidrodinámico, lo que a su vez provoca atracción espacial; la sincronización se relaciona con el autoensamblaje. Esto puede dar lugar a conjuntos de vórtices, ^{[ 7 ]} trenes ^{[ 8 ]} ondas metacrónicas ^{[ 9 ]} y otros efectos colectivos.

Las paredes de dominio magnético ^{[ 10 ]} son ​​características clave en el campo del magnetismo y la ciencia de los materiales , definidas por el límite entre diferentes dominios magnéticos en materiales ferromagnéticos . Estos dominios son regiones dentro de un material donde los momentos magnéticos de los átomos están alineados en la misma dirección, creando un campo magnético uniforme. Son muy prometedores como dispositivos de memoria en la próxima generación de espintrónica . En una versión simplificada,${\displaystyle q,\phi }$modelo, ^{[ 11 ]} una pared de dominio puede describirse por su centro de masa${\displaystyle q}$y el ángulo en el plano${\displaystyle \phi }$de su vector dipolar magnético , clasificándolos así como enjambres. Los experimentos revelan que la interacción entre dos de estas paredes de dominio conduce a ricos comportamientos espaciotemporales, algunos de los cuales son capturados por el modelo de enjambre unidimensional mencionado anteriormente. ^{[ 12 ]}

Ranas arborícolas japonesas . Durante los rituales de cortejo, los machos de rana arborícola japonesa atraen la atención de las hembras croando rítmicamente. Los machos vecinos tienden a alternar el croar (croar${\displaystyle \pi }$grado de desfase) para evitar "hablar uno encima del otro". La evidencia ^{[ 13 ]} sugiere que esta (anti)sincronización influye en la dinámica espacial entre las ranas, convirtiéndolas en enjambres.

Las partículas de Janus ^{[ 14 ]} son ​​partículas esféricas con un hemisferio recubierto de una sustancia magnética, mientras que el otro permanece no magnético. Reciben su nombre del dios romano Jano, conocido por sus dos caras. Esta anisotropía les confiere propiedades magnéticas inusuales. Al ser sometidas a campos magnéticos externos, sus vectores dipolares magnéticos comienzan a oscilar, lo que induce y acopla movimientos (de ahí su clasificación como enjambres). El autoensamblaje sincronizado resultante ^{[ 15 ]} da lugar a una superestructura novedosa con potencial aplicación en contextos biomédicos como la administración dirigida de fármacos , la bioimagen y la biodetección. ^{[ 16 ]}

Los rodillos de Quincke son una clase de partículas activas que exhiben movimiento autopropulsado en un fluido debido a un fenómeno electrohidrodinámico conocido como efecto Quincke. ^{[ 17 ]} Este efecto ocurre cuando una partícula dieléctrica (no conductora) está sujeta a un campo eléctrico . La rotación de la partícula, combinada con las interacciones friccionales con el fluido y la superficie circundantes, conduce a un movimiento de rodadura. Por lo tanto, la partícula tiene una fase${\displaystyle \theta }$y un puesto${\displaystyle x}$que se acoplan, como se requiere de los enjambres. Las colecciones de rodillos de Quincke producen un comportamiento emergente rico como ondas de actividad ^{[ 18 ]} y ondas de choque. ^{[ 19 ]}

Las células embrionarias son los componentes básicos de un embrión, y se dividen y diferencian para formar las estructuras complejas de un organismo. Estas células exhiben una plasticidad notable, lo que les permite transformarse en una amplia gama de tipos celulares especializados. En el contexto de los organismos que se mueven en enjambre, las células embrionarias muestran una combinación única de sincronización y comportamiento de enjambre. ^{[ 20 ]} Coordinan sus movimientos y patrones de expresión genética en respuesta a diversas señales, un proceso esencial para la correcta formación de tejidos y el desarrollo de órganos. Esta vinculación entre sincronización y autoensamblaje convierte a las células embrionarias en un ejemplo convincente de organismos que se mueven en enjambre en el mundo real.

Enjambres de robots . Se han creado vehículos terrestres y drones aéreos programados con modelos de enjambre ^{[ 21 ]} , recreando los cinco estados colectivos del modelo (véase la sección Modelos matemáticos para la representación gráfica de estos estados). La vinculación de la sincronización y el enjambre define un nuevo tipo de algoritmo bioinspirado con diversas aplicaciones potenciales ^{[ 22 ] .}

Se ha propuesto un modelo matemático para enjambres que se mueven en 2D. Este modelo de enjambre 2D en forma genérica es:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}I_{att}(x_{j}-x_{i})F(\theta _{j}-\theta _{i})-I_{rep}(x_{j}-x_{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}G_{sync}(\theta _{j}-\theta _{i})H(x_{j}-x_{i})\end{array}}}$

La dinámica espacial combina la interacción por pares${\displaystyle I_{att}}$con pares${\displaystyle I_{rep}}$, que produce enjambre/agregación. La novedad es que la atracción se modifica mediante un término de fase.${\displaystyle F}$; por lo tanto, la agregación se vuelve dependiente de la fase. Asimismo, la dinámica de fase contiene un término de sincronización.${\displaystyle G_{sync}}$Modificado por un término espacial, de modo que la sincronización depende de la posición. En resumen, los swarmalators modelan la interacción entre la autosincronización y el autoensamblaje en el espacio.

Si bien en general la posición podría ser en 2D o 3D, la instancia del modelo swarmalator introducido originalmente es un modelo 2D.${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$y las opciones para${\ Displaystyle I_ {att} (x), I_ {rep} (x)}$etc. fueron

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}{\frac {(x_{j}-x_{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\left(1+J\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\right)-{\frac {x_{j}-x_{i}}{|x_{j}-x_{i}|^{2}}}\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {K}{N}}\sum _{j}{\frac {\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\end{array}}}$

Hay dos parámetros${\displaystyle J}$y${\displaystyle K}$:${\displaystyle J}$ controla la fuerza de atracción/repulsión del espacio de fases, mientras que${\displaystyle K}$ describe la fuerza de acoplamiento de fase. Lo anterior puede considerarse una combinación del modelo de agregación introducido a partir del enjambre biológico ^{[ 23 ]} (la parte espacial) y el modelo de Kuramoto de osciladores de fase (la parte de fase).

El modelo anterior produce cinco estados colectivos ^{[ 24 ]} representados en la Figura 1:

• Sincronización estática: Los enjambres forman un disco en el espacio y están completamente sincronizados en fase.
• Asíncrono estático: Los enjambres forman un disco en el espacio y son completamente asíncronos en fase.
• Onda de fase estática: Los enjambres forman un anillo en el espacio con una onda de fase (por ejemplo, una rueda de colores completa o un arcoíris).
• Onda de fase fragmentada: La onda de fase se fragmenta en grupos de enjambres síncronos. Dentro de cada grupo, los enjambres ejecutan un movimiento periódico en el espacio y la fase.
• Onda de fase activa: Los enjambres funcionan en un vórtice de fase espacial, con la mitad girando en el sentido de las agujas del reloj y la otra mitad en sentido contrario.

Para delimitar dónde surge y desaparece cada estado a medida que se modifican los parámetros, se utilizan los parámetros de orden arcoíris.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{\pm }&=&S_{\pm }e^{i\phi _{\pm }}=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}e^{i(\phi _{j}-\theta _{i})}\end{array}}}$

dónde${\displaystyle \phi _{i}:=\arctan(y_{i}/x_{i})}$se utilizan. La figura 2 muestra${\displaystyle S_{\pm }}$versus${\displaystyle K}$para fijo${\displaystyle J}$. Como se puede observar,${\displaystyle S_{+}=1}$en el estado de onda de fase estática similar al arcoíris (en${\displaystyle K}$= 0), y luego disminuye como${\displaystyle K}$disminuye. Un parámetro de segundo orden${\displaystyle \gamma }$, definido como la fracción de swarmalators que han completado al menos un ciclo en el espacio y la fase después de los transitorios también representados gráficamente, que pueden distinguir entre los estados de onda de fase activa y onda de fase fragmentada.

Existen varios enigmas sin resolver y preguntas abiertas relacionadas con los enjambres:

• Punto de fusión${\displaystyle K_{m}(J)}$¿Cuál es el valor?${\displaystyle K_{m}(J)}$¿En qué momento el estado asíncrono estático se transforma en el estado de onda de fase activa?
• Punto de división${\displaystyle K_{s}(J)}$¿Cuál es el punto de división?${\displaystyle K_{s}}$¿En qué punto la onda de fase activa se divide en la onda de fase fragmentada?
• Parámetros de orden arcoíris: ¿Puede derivar una expresión para la rama supercrítica del arcoíris?${\displaystyle S_{\pm }(K)}$para fijo${\displaystyle J}$¿En los estados de onda de fase activa y onda de fase fragmentada?
• ${\displaystyle N_{c}}$¿Qué determina el número de cúmulos que se forman en la onda de fase fragmentada?

Un modelo de enjambre más simple donde el movimiento espacial está confinado a un anillo 1D${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {S} ^{1}}$También se ha propuesto ^{[ 25 ] [ 26 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=\nu _{i}'+{\frac {J'}{N}}\sum _{j}\sin(x_{j}-x_{i})\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=\omega _{i}'+{\frac {K'}{N}}\sum _{j}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})\cos(x_{j}-x_{i})\end{array}}}$

dónde${\displaystyle \nu _{i},\omega _{i}}$son las frecuencias naturales (aleatorias) del i-ésimo swarmalator y se extraen de ciertas distribuciones${\displaystyle g(.)}$Este modelo 1D corresponde al componente angular del modelo 2D del enjambre. La restricción a esta topología más simple permite un análisis más profundo. Por ejemplo, el modelo con frecuencias naturales se puede resolver definiendo las coordenadas de suma/diferencia.${\displaystyle \xi _{i},\eta _{i}=x_{i}\pm \theta _{i}}$El modelo se simplifica en un par de modelos de Kuramoto acoplados linealmente.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {\xi }}_{i}&=\nu _{i}+Kr\sin(\phi -\xi )+Js\sin(\psi -\eta )\\{\dot {\eta }}_{i}&=\omega _{i}+Jr\sin(\phi -\xi )+Ks\sin(\psi -\eta )\end{array}}}$

dónde${\displaystyle K,J=(J'\pm K')/2}$y${\displaystyle \nu ,\omega =\nu '\pm \omega '}$y los parámetros de orden arcoíris son el equivalente del modelo 2D

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z_{\xi }=re^{i\phi }:=N^{-1}\sum _{j}e^{i(x_{j}+\theta _{j})}\\Z_{\eta }=se^{i\psi }:=N^{-1}\sum _{j}e^{i(x_{j}-\theta _{j})}\\\end{array}}}$

Para la distribución unimodal de${\displaystyle \omega ,\nu }$Al igual que la distribución de Cauchy , el modelo presenta cuatro estados colectivos representados en la figura de la derecha.

• Asíncrono o${\displaystyle (r,s)=(0,0)}$estado. Los enjambres no exhiben coherencia ni en el espacio ni en la fase, distribuyéndose uniformemente en posición y fase. Este estado se caracteriza por la ausencia de sincronización o agrupamiento espacial entre los enjambres, como lo reflejan los valores cero de ambos parámetros de orden.${\displaystyle r=s=0}$.
• Onda de fase o${\displaystyle (r,s)=(S_{pw},0)}$estado. En el estado de onda de fase, los enjambres forman una banda o patrón de onda con la posición${\displaystyle x_{i}}$y fase${\displaystyle \theta _{i}}$están correlacionadas. La onda puede propagarse en sentido horario o antihorario.
• Mixto o${\displaystyle (r,s)=(S_{1},S_{2})}$estado. Los Swaramlators vuelven a formar una onda de fase, pero ahora la onda está distorsionada, formando dos grupos irregulares; por lo tanto, es una mezcla de la onda de fase y el estado de sincronización (que se describe a continuación).
• Sincronizar o${\displaystyle (r,s)=(S_{sync},S_{sync})}$estado. Los enjambres forman dos grupos síncronos tanto en el espacio como en la fase. Se forman estados de grupo único para ciertas condiciones iniciales.

Nótese que en cada estado, los enjambres se dividen en subpoblaciones fijas y migratorias, al igual que en el modelo de Kuramoto. Las regiones más densas de la figura corresponden a la población fija, mientras que las regiones gris claro representan a la población migratoria.

La figura de la derecha compara las bifurcaciones del modelo de Kuramoto con las del modelo de enjambre 1D. Para el modelo de Kuramoto (fila superior), el parámetro de orden de sincronización${\displaystyle R:=|\langle e^{i\theta }\rangle |}$bifurca desde el estado asíncrono (${\displaystyle R=0}$) y luego aumenta monótonamente en el estado de sincronización (${\displaystyle R>0}$). Para el modelo de enjambre 1D, las bifurcaciones son más ricas. Barriendo${\displaystyle K}$El cambio de valores negativos a positivos desencadena la secuencia de bifurcaciones del estado asíncrono al síncrono.