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Densidad de corriente

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En electromagnetismo , la densidad de corriente es la corriente eléctrica (o la cantidad de carga por unidad de tiempo) que fluye a través de un área unitaria de una sección transversal determinada . [ 1 ] El vector de densidad de corriente se define como un vector cuya magnitud es la densidad de corriente en un punto dado del espacio y cuya dirección es la del movimiento de las cargas positivas en ese punto. En unidades base del SI , la densidad de corriente eléctrica se mide en amperios por metro cuadrado. [ 2 ]

Definición

Consideremos una pequeña superficie con área A (unidad SI: m² ) centrada en un punto dado M y ortogonal al movimiento de las cargas en M. Si I A (unidad SI: A ) es la corriente eléctrica que fluye a través de A , entonces la densidad de corriente eléctrica j en M viene dada por el límite : [ 3 ]j=límiteA→0IAA=∂I∂A|A=0,{\displaystyle j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},}

con la superficie A permaneciendo centrada en M y ortogonal al movimiento de las cargas durante el proceso límite.

El vector de densidad de corriente j es el vector cuya magnitud es la densidad de corriente eléctrica y cuya dirección es la misma que el movimiento de las cargas positivas en M.

En un instante dado t , si v es la velocidad de las cargas en M , y dA es una superficie infinitesimal centrada en M y ortogonal a v , entonces durante un intervalo de tiempo dt , solo la carga contenida en el volumen formado por dA yvdt{\displaystyle v\,dt}fluirá a través de dA . Esta carga es igual adq=ρvdtdA,{\displaystyle dq=\rho \,v\,dt\,dA,}donde ρ es la densidad de carga en M. La corriente eléctrica esdI=dq/dt=ρvdA{\displaystyle dI=dq/dt=\rho v\,dA}De ello se deduce que el vector de densidad actual es el vector normaldA{\displaystyle dA}(es decir, paralelo a v ) y de magnituddI/dA=ρv{\displaystyle dI/dA=\rho v}

j=ρv.{\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .}

La integral de superficie de j sobre una superficie S , seguida de una integral sobre la duración de tiempo t 1 a t 2 , da la cantidad total de carga que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t 2 − t 1 ):

q=∫t1t2∬Sj⋅norte^dAdt.{\displaystyle q=\int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} \iint _ {S} \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}

De forma más concisa, esta es la integral del flujo de j a través de S entre t 1 y t 2 .

El área necesaria para calcular el flujo puede ser real o imaginaria, plana o curva, ya sea como área de sección transversal o como superficie. Por ejemplo, para los portadores de carga que atraviesan un conductor eléctrico , el área es la sección transversal del conductor, en la sección considerada.

El área vectorial es una combinación de la magnitud del área a través de la cual pasan los portadores de carga, A , y un vector unitario normal al área,norte^.{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}La relación esA=Anorte^.{\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}

El área del vector diferencial se deduce de forma similar de la definición dada anteriormente:dA=dAnorte^.{\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}

Si la densidad de corriente j atraviesa el área formando un ángulo θ con la normal al área.norte^,{\displaystyle \mathbf {\sombrero {n}},}entonces

j⋅norte^=jporque⁡θ{\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }

donde ⋅ es el producto escalar de los vectores unitarios. Es decir, la componente de la densidad de corriente que atraviesa la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ , mientras que la componente de la densidad de corriente que pasa tangencialmente al área es j sin θ , pero en realidad no hay densidad de corriente que atraviese el área en la dirección tangencial. La única componente de la densidad de corriente que pasa normal al área es la componente coseno.

Importancia

La densidad de corriente es importante para el diseño de sistemas eléctricos y electrónicos .

El rendimiento de un circuito depende en gran medida del nivel de corriente diseñado, y la densidad de corriente viene determinada por las dimensiones de los elementos conductores. Por ejemplo, a medida que se reducen los circuitos integrados , a pesar de la menor corriente que requieren los dispositivos más pequeños, se observa una tendencia hacia mayores densidades de corriente para lograr un mayor número de dispositivos en áreas de chip cada vez más pequeñas . Véase la ley de Moore .

A altas frecuencias, la región conductora de un cable se confina cerca de su superficie, lo que aumenta la densidad de corriente en dicha región. Esto se conoce como efecto piel .

Las altas densidades de corriente tienen consecuencias indeseables. La mayoría de los conductores eléctricos tienen una resistencia positiva finita , lo que provoca que disipen energía en forma de calor. La densidad de corriente debe mantenerse lo suficientemente baja para evitar que el conductor se funda o se queme, que el material aislante falle o que cambien las propiedades eléctricas deseadas. A altas densidades de corriente, el material que forma las interconexiones se desplaza, un fenómeno denominado electromigración . En los superconductores, una densidad de corriente excesiva puede generar un campo magnético lo suficientemente fuerte como para provocar la pérdida espontánea de la propiedad superconductora.

El análisis y la observación de la densidad de corriente también se utilizan para investigar la física subyacente a la naturaleza de los sólidos, incluyendo no solo metales, sino también semiconductores y aislantes. Se ha desarrollado un formalismo teórico elaborado para explicar muchas observaciones fundamentales. [ 4 ] [ 5 ]

La densidad de corriente es un parámetro importante en la ley circuital de Ampère (una de las ecuaciones de Maxwell ), que relaciona la densidad de corriente con el campo magnético .

En la teoría de la relatividad especial , la carga y la corriente se combinan en un 4-vector .

Cálculo de densidades de corriente en la materia

Corrientes libres

Los portadores de carga que pueden moverse libremente constituyen una densidad de corriente libre , que se expresa mediante expresiones como las que se muestran en esta sección.

La corriente eléctrica es una magnitud aproximada y promedio que indica lo que sucede en todo un cable. En la posición r en el instante t , la distribución de la carga que fluye se describe mediante la densidad de corriente: [ 6 ]

j(r,t)=ρ(r,t)vd(r,t){\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)}

dónde

  • j ( r , t ) es el vector de densidad de corriente;
  • v d ( r , t ) es la velocidad de deriva promedio de las partículas(unidad SI: m ∙ s −1 );
  • ρ(r,t)=qnorte(r,t){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)}es la densidad de carga (unidad del SI: culombios por metro cúbico ), en la que
    • n ( r , t ) es el número de partículas por unidad de volumen ("densidad numérica") (unidad SI: m − 3 );
    • q es la carga de las partículas individuales con densidad n (unidad del SI: culombios ).

Una aproximación común a la densidad de corriente supone que la corriente es simplemente proporcional al campo eléctrico, tal como se expresa mediante:

j=σmi{\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }

donde E es el campo eléctrico y σ es la conductividad eléctrica . Esta es también una representación alternativa de la ley de Ohm .

La conductividad σ es la recíproca ( inversa ) de la resistividad eléctrica y tiene las unidades del SI de siemens por metro (S⋅m − 1 ), y E tiene las unidades del SI de newtons por culombio (N⋅C − 1 ) o, equivalentemente, voltios por metro (V⋅m − 1 ).

Un enfoque más fundamental para el cálculo de la densidad de corriente se basa en: j(r,t)=∫−∞t[∫Vσ(r−r′,t−t′)mi(r′,t′)d3r′]dt′{\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',tt')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'}

indicando el retardo en la respuesta por la dependencia temporal de σ , y la naturaleza no local de la respuesta al campo por la dependencia espacial de σ , ambas calculadas en principio a partir de un análisis microscópico subyacente, por ejemplo, en el caso de campos suficientemente pequeños, la función de respuesta lineal para el comportamiento conductivo en el material. Véase, por ejemplo, Giuliani y Vignale (2005) [ 7 ] o Rammer (2007). [ 8 ] La integral se extiende sobre toda la historia pasada hasta el presente.

La conductividad mencionada anteriormente y su densidad de corriente asociada reflejan los mecanismos fundamentales que subyacen al transporte de carga en el medio, tanto en el tiempo como en la distancia.

Una transformada de Fourier en el espacio y el tiempo da como resultado: j(k,ω)=σ(k,ω)mi(k,ω){\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}

donde σ ( k , ω ) es ahora una función compleja .

En muchos materiales, por ejemplo, en los materiales cristalinos, la conductividad es un tensor , y la corriente no necesariamente tiene la misma dirección que el campo aplicado. Además de las propiedades del material en sí, la aplicación de campos magnéticos puede alterar el comportamiento conductor.

Corrientes de polarización y magnetización

Las corrientes surgen en los materiales cuando hay una distribución no uniforme de la carga. [ 9 ]

En los materiales dieléctricos , existe una densidad de corriente que corresponde al movimiento neto de momentos dipolares eléctricos por unidad de volumen, es decir, la polarización P :

jPAG=∂PAG∂t{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}

De manera similar, con los materiales magnéticos , las circulaciones de los momentos dipolares magnéticos por unidad de volumen, es decir, la magnetización M , dan lugar a corrientes de magnetización : [ 10 ]

jMETRO=∇×METRO{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} }

En conjunto, estos términos se suman para formar la densidad de corriente ligada en el material (corriente resultante debida a los movimientos de los momentos dipolares eléctricos y magnéticos por unidad de volumen):

jb=jPAG+jMETRO{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }}

Corriente total en materiales

La corriente total es simplemente la suma de las corrientes libres y ligadas: j=jF+jb{\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }}

Corriente de desplazamiento

También existe una corriente de desplazamiento correspondiente al campo de desplazamiento eléctrico variable en el tiempo D : [ 11 ] [ 12 ]

jD=∂D∂t{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}

que es un término importante en la ley circuital de Ampère , una de las ecuaciones de Maxwell, ya que la ausencia de este término no permitiría predecir la propagación de ondas electromagnéticas , ni la evolución temporal de los campos eléctricos en general.

Ecuación de continuidad

Dado que la carga se conserva, la densidad de corriente debe satisfacer una ecuación de continuidad . Aquí se presenta una derivación a partir de los primeros principios. [ 9 ]

El flujo neto que sale de un volumen V (que puede tener una forma arbitraria pero que se mantiene fijo para el cálculo) debe ser igual al cambio neto de carga contenida dentro del volumen:

∫Sj⋅dA=−ddt∫VρdV=−∫V∂ρ∂tdV{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}

donde ρ es la densidad de carga y d A es un elemento de superficie de la superficie S que encierra el volumen V. La integral de superficie de la izquierda expresa la salida de corriente del volumen, y la integral de volumen con signo negativo de la derecha expresa la disminución de la carga total dentro del volumen. Del teorema de la divergencia :

∮Sj⋅dA=∫V∇⋅jdV{\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}

Por eso:

∫V∇⋅jdV =−∫V∂ρ∂tdV{\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}

Esta relación es válida para cualquier volumen, independientemente de su tamaño o ubicación, lo que implica que:

∇⋅j=−∂ρ∂t{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}

y esta relación se llama ecuación de continuidad . [ 13 ] [ 14 ]

En la práctica

En el cableado eléctrico , la densidad de corriente máxima (para una clasificación de temperatura dada ) puede variar de 4  A⋅mm −2 para un cable sin circulación de aire a su alrededor, a más de 6  A⋅mm −2 para un cable en aire libre. Las regulaciones para el cableado de edificios enumeran la corriente máxima permitida para cada tamaño de cable en diferentes condiciones. Para diseños compactos, como los devanados de transformadores SMPS , el valor puede ser tan bajo como 2  A⋅mm −2 . [ 15 ] Si el cable transporta corrientes alternas de alta frecuencia , el efecto pelicular puede afectar la distribución de la corriente a través de la sección al concentrar la corriente en la superficie del conductor . En transformadores diseñados para altas frecuencias, la pérdida se reduce si se utiliza cable Litz para los devanados. Este está hecho de múltiples cables aislados en paralelo con un diámetro que es el doble de la profundidad de penetración . Los hilos aislados se trenzan entre sí para aumentar el área de penetración total y reducir la resistencia debida a los efectos peliculares.

Para las capas superior e inferior de las placas de circuitos impresos , la densidad de corriente máxima puede alcanzar los 35  A⋅mm⁻² con un espesor de cobre de 35 μm. Las capas internas no pueden disipar tanto calor como las externas; por ello  , los diseñadores de placas de circuitos evitan colocar pistas de alta corriente en las capas internas.

En el campo de los semiconductores , el fabricante especifica las densidades de corriente máximas para los diferentes elementos. Superar esos límites plantea los siguientes problemas:

La siguiente tabla ofrece una idea de la densidad de corriente máxima para diversos materiales.

Aunque los fabricantes añadan cierto margen a sus cálculos, se recomienda, como mínimo, duplicar la sección calculada para mejorar la fiabilidad, especialmente en el caso de componentes electrónicos de alta calidad. Asimismo, cabe destacar la importancia de mantener los dispositivos electrónicos refrigerados para evitar la electromigración y la difusión lenta .

En los organismos biológicos , los canales iónicos regulan el flujo de iones (por ejemplo, sodio , calcio , potasio ) a través de la membrana en todas las células . Se asume que la membrana celular actúa como un capacitor. [ 17 ] Las densidades de corriente se expresan generalmente en pA⋅pF⁻¹ ( picoamperios por picofaradio ) ( es decir, corriente dividida por capacitancia ). Existen técnicas para medir empíricamente la capacitancia y el área superficial de las células, lo que permite calcular las densidades de corriente para diferentes células. Esto permite a los investigadores comparar las corrientes iónicas en células de diferentes tamaños. [ 18 ]

En las lámparas de descarga de gas , como las lámparas de destello , la densidad de corriente juega un papel importante en el espectro de salida producido. Las bajas densidades de corriente producen emisión de líneas espectrales y tienden a favorecer las longitudes de onda más largas . Las altas densidades de corriente producen emisión continua y tienden a favorecer las longitudes de onda más cortas. [ 19 ] Las bajas densidades de corriente para lámparas de destello son generalmente alrededor de 10 A⋅mm −2 . Las altas densidades de corriente pueden ser más de 40 A⋅mm −2 .  

Véase también

Referencias

  1. ↑ Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2014). Fundamentos de física (10.ª  ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p.  749. ISBN 9781118230732OCLC 950235056​​ 
  2. ↑ Lerner, RG; Trigg, GL (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). Editorial VHC. ISBN  0895737523.
  3. ↑ Whelan, PM; Hodgeson, MJ (1978). Principios esenciales de física (2.ª ed.). John Murray. ISBN  0719533821.
  4. ↑ Richard P Martin (2004). Estructura electrónica: Teoría básica y métodos prácticos . Cambridge University Press. ISBN 0521782856.
  5. ↑ Altland, Alexander; Simons, Ben (2006). Teoría de campos de la materia condensada . Cambridge University Press. ISBN 9780521845083.
  6. ↑ Woan, G. (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 9780521575072.
  7. ↑ Giuliani, Gabriele; Vignale, Giovanni (2005). Teoría cuántica del líquido electrónico . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 111.ISBN​  0521821126. teoría de respuesta lineal capacitancia O conductancia.
  8. ↑ Rammer, Jørgen (2007). Teoría cuántica de campos de estados de no equilibrio . Cambridge University Press. pág. 158. ISBN  9780521874991.
  9. 1 2 Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN  9780471927129.
  10. ↑ Herczynski, Andrzej (2013). "Cargas y corrientes ligadas" (PDF) . American Journal of Physics . 81 (3). Asociación Estadounidense de Profesores de Física: 202–205 . Bibcode : 2013AmJPh..81..202H . doi : 10.1119/1.4773441 . Archivado del original (PDF) el 20 de septiembre de 2020. Recuperado el 23 de abril de 2017 .
  11. ↑ Griffiths, DJ (2007). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education. ISBN  978-8177582932.
  12. ↑ Tipler, PA; Mosca, G. (2008). Física para científicos e ingenieros - con física moderna (6.ª ed.). WH Freeman. ISBN  978-0716789642.
  13. ↑ Tai L Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna . Jones & Bartlett. págs. 130–131 . ISBN  0-7637-3827-1.
  14. ↑ Griffiths, DJ (1999). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson/Addison-Wesley. pág . 213. ISBN   0-13-805326-X.
  15. ↑ A. Pressman; et al. (2009). Diseño de fuentes de alimentación conmutadas (3.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 320. ISBN    978-0-07-148272-1.
  16. ↑ Murali, Raghunath; Yang, Yinxiao; Brenner, Kevin; Beck, Thomas; Meindl, James D. (2009). "Densidad de corriente de ruptura de nanocintas de grafeno". Applied Physics Letters . 94 (24): 243114. arXiv : 0906.4156 . Bibcode : 2009ApPhL..94x3114M . doi : 10.1063/1.3147183 . ISSN 0003-6951 . S2CID 55785299 .  
  17. ↑ Fall, CP; Marland, ES; Wagner, JM; Tyson, JJ, eds. (2002). Biología celular computacional . Nueva York: Springer. pág. 28. ISBN  9780387224596.
  18. ↑ Weir, EK; Hume, JR; Reeves, JT, eds. (1993). «La electrofisiología de las células del músculo liso y técnicas para el estudio de los canales iónicos» . Flujo iónico en el control vascular pulmonar . Nueva York: Springer Science. pág. 29. ISBN  9780387224596.
  19. ↑ "Fotocátodos de lámparas de xenón" (PDF) .