Suavidad (teoría de la probabilidad)

En teoría de probabilidad y estadística , la suavidad de una función de densidad es una medida que determina cuántas veces se puede diferenciar la función de densidad o, equivalentemente, el comportamiento límite de la función característica de la distribución .

Formalmente, llamamos a la distribución de una variable aleatoria X distribución ordinaria suave de orden β ^[1] si su función característica satisface

${\displaystyle d_{0}|t|^{-\beta }\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{-\beta }\quad {\text{como }}t\to \infty }$

para algunas constantes positivas d ₀ , d ₁ , β . Ejemplos de tales distribuciones son gamma , exponencial , uniforme , etc.

La distribución se denomina supersuave de orden β ^[1] si su función característica satisface

${\displaystyle d_{0}|t|^{\beta _{0}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\leq |\varphi _{X}(t)|\leq d_{1}|t|^{\beta _{1}}\exp {\big (}-|t|^{\beta }/\gamma {\big )}\quad {\text{como }}t\to \infty }$

para algunas constantes positivas d ₀ , d ₁ , β , γ y constantes β ₀ , β ₁ . Tales distribuciones supersuaves tienen derivadas de todos los órdenes. Ejemplos: normal , Cauchy , normal mixta.

• Lighthill, MJ (1962). Introducción al análisis de Fourier y funciones generalizadas . Londres: Cambridge University Press.