Problema del amanecer

El problema del amanecer se puede expresar de la siguiente manera: "¿Cuál es la probabilidad de que el sol salga mañana?". Este problema ilustra la dificultad de utilizar la teoría de la probabilidad al evaluar la plausibilidad de afirmaciones o creencias.

Según la interpretación bayesiana de la probabilidad , la teoría de la probabilidad puede utilizarse para evaluar la plausibilidad de la afirmación: "El sol saldrá mañana".

El problema del amanecer fue introducido públicamente por primera vez en 1763 por Richard Price en su famosa reseña del trabajo fundamental de Thomas Bayes en el bayesianismo . ^{[ 1 ]}

Pierre-Simon Laplace abordó el problema mediante su regla de sucesión . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sea p la frecuencia a largo plazo de los amaneceres, es decir, el sol sale en el 100 × p % de los días. Antes de conocer cualquier amanecer, se desconoce por completo el valor de p . Laplace representó este desconocimiento previo mediante una distribución de probabilidad uniforme sobre p .

Por ejemplo, la probabilidad de que p esté entre el 20% y el 50% es solo el 30%. Esto no debe interpretarse como que en el 30% de todos los casos, p está entre el 20% y el 50%. Más bien, significa que el estado de conocimiento (o ignorancia) de una persona justifica que esté un 30% segura de que el sol sale entre el 20% y el 50% de las veces. Dado el valor de p , y ninguna otra información relevante para la pregunta de si el sol saldrá mañana, la probabilidad de que el sol salga mañana es p . Pero no se nos "da el valor de p ". Lo que se nos da son los datos observados: el sol ha salido todos los días registrados. Laplace infirió el número de días al decir que el universo fue creado hace unos 6000 años, basándose en una lectura creacionista de la Biblia de la Tierra joven .

Para hallar la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se utiliza el teorema de Bayes , también conocido como la regla de Bayes-Laplace . Una vez hallada la distribución de probabilidad condicional de p dados los datos, se puede calcular la probabilidad condicional, dados los datos, de que el sol salga mañana. Dicha probabilidad condicional viene dada por la regla de sucesión . La probabilidad de que el sol salga mañana aumenta con el número de días en que ha salido hasta ahora. Específicamente, suponiendo que p tiene una distribución a priori uniforme en el intervalo [0,1], y que, dado el valor de p , el sol sale cada día de forma independiente con probabilidad p , la probabilidad condicional deseada es:

${\displaystyle \Pr({\text{El sol sale mañana}}\mid {\text{Ha salido }}k{\text{ veces anteriormente}})={\frac {\int _{0}^{1}p^{k+1}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{k}\,dp}}={\frac {k+1}{k+2}}.}$

Según esta fórmula, si se ha observado la salida del sol 10000 veces anteriormente, la probabilidad de que salga al día siguiente es${\displaystyle 10001/10002\approx 0.99990002}$Expresado como porcentaje, esto es aproximadamente un${\displaystyle 99.990002\%}$oportunidad.

Sin embargo, Laplace reconoció que esto constituía una aplicación errónea de la regla de sucesión al no tener en cuenta toda la información previa disponible inmediatamente después de obtener el resultado:

Pero este número [la probabilidad de que el sol salga mañana] es mucho mayor para aquel que, viendo en la totalidad de los fenómenos el principio que regula los días y las estaciones, se da cuenta de que nada en este momento puede detener su curso.

ET Jaynes señaló que la advertencia de Laplace no había sido escuchada por los trabajadores en el campo. ^{[ 4 ]}

Surge un problema de clase de referencia : la plausibilidad inferida dependerá de si tomamos la experiencia pasada de una persona, de la humanidad o de la Tierra. En consecuencia, cada referente tendrá una plausibilidad diferente de la afirmación. En el bayesianismo, cualquier probabilidad es una probabilidad condicional dada la información disponible. Esta información varía de una persona a otra.

• Regla de sucesión
• Problema de inducción
• El argumento del fin del mundo : un problema similar que suscita un intenso debate filosófico.
• La paradoja de Newcomb
• Problemas sin resolver en estadística
• Suavizado aditivo (también llamado suavizado de Laplace)