Lógica subestructural

En lógica , una lógica subestructural es aquella que carece de alguna de las reglas estructurales habituales (por ejemplo, de la lógica clásica e intuicionista ), como el debilitamiento , la contracción , el intercambio o la asociatividad. Dos de las lógicas subestructurales más importantes son la lógica de relevancia y la lógica lineal .

En un cálculo de secuencias , se escribe cada línea de una demostración como

${\displaystyle \Gamma \vdash \Sigma }$.

Aquí, las reglas estructurales son reglas para reescribir el lado izquierdo del secuente, denotado por Γ, concebido inicialmente como una cadena finita (secuencia) de proposiciones. La interpretación estándar de esta cadena es como conjunción : esperamos leer

${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$

como la notación de secuencia para

( A y B ) implica C.​

Aquí tomamos el RHS Σ como una sola proposición C (que es el estilo intuicionista de secuente); pero todo se aplica igualmente al caso general, ya que todas las manipulaciones tienen lugar a la izquierda del símbolo de torniquete.${\displaystyle \vdash }$.

Dado que la conjunción es una operación conmutativa y asociativa , la configuración formal de la teoría de secuencias normalmente incluye reglas estructurales para reescribir la secuencia Γ en consecuencia, por ejemplo, para deducir

${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {C}}}$

de

${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$.

Existen además reglas estructurales que corresponden a las propiedades idempotentes y monótonas de la conjunción: desde

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$

podemos deducir

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$.

También de

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$

se puede deducir, para cualquier B ,

${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}},\Delta \vdash {\mathcal {C}}}$.

La lógica lineal , en la que las hipótesis duplicadas "cuentan" de manera diferente a las ocurrencias únicas, omite ambas reglas, mientras que la lógica relevante (o de relevancia) simplemente omite la última regla, basándose en que B es claramente irrelevante para la conclusión.

Los ejemplos anteriores son ejemplos básicos de reglas estructurales. No es que estas reglas sean controvertidas cuando se aplican en el cálculo proposicional convencional . Surgen de forma natural en la teoría de la demostración , y allí se observaron por primera vez (antes de recibir un nombre).

Existen numerosas formas de componer premisas (y, en el caso de conclusiones múltiples, también conclusiones). Una forma es agruparlas en un conjunto. Pero dado que, por ejemplo, {a,a} = {a}, tenemos la contracción automáticamente si las premisas son conjuntos. También tenemos la asociatividad y la permutación (o conmutatividad) automáticamente, entre otras propiedades. En las lógicas subestructurales, las premisas normalmente no se componen en conjuntos, sino en estructuras más finas, como árboles o multiconjuntos (conjuntos que distinguen múltiples ocurrencias de elementos) o secuencias de fórmulas. Por ejemplo, en la lógica lineal, dado que la contracción falla, las premisas deben componerse en algo al menos tan fino como los multiconjuntos.

La lógica subestructural es un campo relativamente joven. La primera conferencia sobre el tema se celebró en octubre de 1990 en Tubinga, bajo el título de "Lógicas con reglas estructurales restringidas". Durante la conferencia, Kosta Došen propuso el término "lógicas subestructurales", que se utiliza actualmente.

• Sistema de tipos subestructurales
• Retícula residual

• Paoli, Francesco (2002). Lógicas subestructurales: una introducción . Tendencias en lógica. Vol.  13. Dordrecht: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-94-017-3179-9 . ISBN 978-90-481-6014-3.
• Restall, Greg (2000). Introducción a las lógicas subestructurales . Londres y Nueva York: Routledge. ISBN 0-415-21533-1.

• Galatos, Nikolaos; Jipsen, Peter; Kowalski, Tomasz; Ono, Hiroakira (2007). Retículos residuales: una visión algebraica de las lógicas subestructurales . Estudios en lógica y razonamiento práctico. Vol.  2. Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-52141-5.

• Contenido multimedia relacionado con la lógica subestructural en Wikimedia Commons.
• Restall, Greg. "Lógicas subestructurales" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .