Operador estrictamente singular

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador estrictamente singular es un operador lineal acotado entre espacios normados que no está acotado inferiormente en ningún subespacio de dimensión infinita.

Definiciones.

Sean X e Y espacios lineales normados , y denotemos por B(X,Y) el espacio de operadores acotados de la forma $T:X\to Y$ . Dejar $A\subsetequ X$ Sea T cualquier subconjunto. Decimos que T está acotado inferiormente en $A$ siempre que haya una constante $c\in (0,\infty )$ de tal manera que para todos $x\in A$ la desigualdad $\|Tx\|\geq c\|x\|$ se cumple. Si A=X , decimos simplemente que T está acotada inferiormente .

Ahora supongamos que X e Y son espacios de Banach, y sea $Id_{X}\in B(X)$ y $Id_{Y}\in B(Y)$ denotan los respectivos operadores de identidad. Un operador $T\in B(X,Y)$ se denomina no esencial cuando $Id_{X}-ST$ es un operador de Fredholm para cada $S\in B(Y,X)$ . De forma equivalente, T es no esencial si y solo si $Id_{Y}-TS$ ¿Fredholm es para todos? $S\in B(Y,X)$ Denotemos por ${\mathcal {E}}(X,Y)$ el conjunto de todos los operadores no esenciales en $B(X,Y)$ .

Un operador $T\in B(X,Y)$ Se denomina estrictamente singular cuando no está acotada inferiormente en ningún subespacio de dimensión infinita de X. Denotemos por ${\mathcal {SS}}(X,Y)$ el conjunto de todos los operadores estrictamente singulares en $B(X,Y)$ Decimos que $T\in B(X,Y)$ es estrictamente singular finita siempre que para cada $\epsilon >0$ existe $n\in \mathbb {N}$ de tal manera que para cada subespacio E de X que satisface ${\text{dim}}(E)\geq n$ , hay $x\in E$ de tal manera que $\|Tx\|<\epsilon \|x\|$ Denotemos por ${\mathcal {FSS}}(X,Y)$ el conjunto de todos los operadores finitamente estrictamente singulares en $B(X,Y)$ .

Dejar $B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ denota la bola unitaria cerrada en X. Un operador $T\in B(X,Y)$ es compacto siempre $TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}$ es un subconjunto relativamente compacto en norma de Y , y lo denotamos por ${\mathcal {K}}(X,Y)$ el conjunto de todos esos operadores compactos.

Propiedades.

Los operadores estrictamente singulares pueden considerarse una generalización de los operadores compactos , ya que todo operador compacto es estrictamente singular. Estas dos clases comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo, si X es un espacio de Banach y T es un operador estrictamente singular en B(X) , entonces su espectro $\sigma (T)$ satisface las siguientes propiedades: (i) la cardinalidad de $\sigma (T)$ es como máximo contable; (ii) $0\in \sigma (T)$ (excepto posiblemente en el caso trivial donde X es de dimensión finita); (iii) cero es el único punto límite posible de $\sigma (T)$ ; y (iv) todo distinto de cero $\lambda \in \sigma (T)$ es un valor propio. Este mismo "teorema espectral" que consta de (i)-(iv) se satisface para operadores no esenciales en B(X) .

Clases ${\mathcal {K}}$ , ${\mathcal {FSS}}$ , ${\mathcal {SS}}$ , y ${\mathcal {E}}$ todos forman ideales de operadores cerrados en norma . Esto significa que, siempre que X e Y sean espacios de Banach, los espacios componentes ${\mathcal {K}}(X,Y)$ , ${\mathcal {FSS}}(X,Y)$ , ${\mathcal {SS}}(X,Y)$ , y ${\mathcal {E}}(X,Y)$ son cada uno de ellos subespacios cerrados (en la norma del operador) de B(X,Y) , de tal manera que las clases son invariantes bajo composición con operadores lineales acotados arbitrarios.

En general, tenemos ${\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)$ y cada una de las inclusiones puede ser estricta o no, dependiendo de las elecciones de X e Y.

Ejemplos.

Cada mapa lineal acotado $T:\ell _{p}\to \ell _{q}$ , para $1\leq q,p<\infty$ , $p\neq q$ , es estrictamente singular. Aquí, $\ell _{p}$ y $\ell _{q}$ son espacios de secuencias . De manera similar, cada mapa lineal acotado $T:c_{0}\to \ell _{p}$ y $T:\ell _{p}\to c_{0}$ , para $1\leq p<\infty$ , es estrictamente singular. Aquí $c_{0}$ es el espacio de Banach de sucesiones que convergen a cero. Este es un corolario del teorema de Pitt, que establece que tales T , para q < p , son compactos.

Si $1\leq p<q<\infty$ luego el operador de identidad formal $I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})$ es finitamente estrictamente singular pero no compacto. Si $1<p<q<\infty$ entonces existen "operadores de Pelczynski" en $B(\ell _{p},\ell _{q})$ que están uniformemente delimitados a continuación en copias de $\ell _{2}^{n}$ , $n\in \mathbb {N}$ y por lo tanto son estrictamente singulares pero no finitamente estrictamente singulares. En este caso tenemos ${\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})$ Sin embargo, todo operador no esencial con codominio $\ell _{q}$ es estrictamente singular, de modo que ${\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})$ Por otro lado, si X es cualquier espacio de Banach separable, entonces existe un operador acotado inferiormente. $T\in B(X,\ell _{\infty })$ cualquiera de los cuales es prescindible pero no estrictamente singular. Por lo tanto, en particular, ${\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })$ a pesar de $1<p<\infty$ .

Dualidad.

Los operadores compactos forman un ideal simétrico , lo que significa $T\in {\mathcal {K}}(X,Y)$ si y solo si $T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})$ Sin embargo, este no es el caso para las clases. ${\mathcal {FSS}}$ , ${\mathcal {SS}}$ , o ${\mathcal {E}}$ Para establecer relaciones de dualidad, introduciremos clases adicionales.

Si Z es un subespacio cerrado de un espacio de Banach Y, entonces existe una sobreyección "canónica". $Q_{Z}:Y\a Y/Z$ definido mediante el mapeo natural $y\mapsto y+Z$ Un operador $T\in B(X,Y)$ Se denomina estrictamente cosingular siempre que, dado un subespacio cerrado de dimensión infinita Z de Y , el mapa $Q_{Z}T$ no es sobreyectivo. Denotemos por ${\mathcal {SCS}}(X,Y)$ el subespacio de operadores estrictamente cosingulares en B(X,Y) .

Teorema 1. Sean X e Y espacios de Banach, y sea $T\in B(X,Y)$ . Si T* es estrictamente singular (resp. estrictamente cosingular), entonces T es estrictamente cosingular (resp. estrictamente singular).

Cabe señalar que existen ejemplos de operadores estrictamente singulares cuyos adjuntos no son ni estrictamente singulares ni estrictamente cosingulares (véase Plichko, 2004). Del mismo modo, existen operadores estrictamente cosingulares cuyos adjuntos no son estrictamente singulares, por ejemplo, la aplicación de inclusión. $I:c_{0}\to \ell _{\infty }$ . Entonces ${\mathcal {SS}}$ no está en plena dualidad con ${\mathcal {SCS}}$ .

Teorema 2. Sean X e Y espacios de Banach, y sea $T\in B(X,Y)$ . Si T* no es esencial, entonces T también lo es .

Referencias

Aiena, Pietro, Fredholm y la teoría espectral local, con aplicaciones a multiplicadores (2004), ISBN 1-4020-1830-4.

Plichko, Anatolij, "Operadores superestrictamente singulares y superestrictamente cosingulares", North-Holland Mathematics Studies 197 (2004), pp239-255.