Regla de estiramiento

En mecánica clásica , la regla de estiramiento (a veces denominada regla de Routh ) establece que el momento de inercia de un objeto rígido no cambia cuando se estira paralelamente a un eje de rotación que es un eje principal , siempre que la distribución de masa permanezca inalterada excepto en la dirección paralela al eje. ^{[ 1 ]} Esta operación deja los cilindros orientados paralelamente al eje con radio inalterado.

Esta regla se puede aplicar junto con el teorema de los ejes paralelos y el teorema de los ejes perpendiculares para hallar los momentos de inercia de diversas formas.

El momento de inercia (escalar) de un cuerpo rígido alrededor del eje z viene dado por:

${\displaystyle I_{z}=\int _{V}d^{3}r\,\rho (\mathbf {r} )\,r^{2}}$

Dónde${\displaystyle r}$es la distancia de un punto al eje z. Podemos expandirlo de la siguiente manera, ya que solo estamos tratando con estiramientos sobre el eje z :

${\displaystyle I_{z}=\int _{0}^{L}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z)\,r^{2}}$

Aquí,${\displaystyle L}$es la altura del cuerpo. Estirar el objeto por un factor de${\displaystyle a}$a lo largo del eje z es equivalente a dividir la densidad de masa por${\displaystyle a}$(significado${\displaystyle \rho '(x,y,z)=\rho (x,y,z/a)/a}$), así como la integración sobre nuevos límites${\displaystyle 0}$y${\displaystyle aL}$(la nueva altura del objeto), dejando así la masa total sin cambios. Esto significa que el nuevo momento de inercia será:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{z}'&=\int _{0}^{aL}dz\int _{x,y}dx\,dy\,\rho '(x,y,z)\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}a\,dz'\int _{x,y}dx\,dy\,{\frac {\rho (x,y,z/a)}{a}}\,r^{2}\\[8pt]&=\int _{0}^{L}dz'\int _{x,y}dx\,dy\,\rho (x,y,z')\,r^{2}=I_{z}\end{aligned}}}$