Complementos estratégicos

En economía y teoría de juegos , las decisiones de dos o más jugadores se denominan complementos estratégicos si se refuerzan mutuamente, y sustitutos estratégicos si se contrarrestan mutuamente. Estos términos fueron acuñados originalmente por Bulow, Geanakoplos y Klemperer (1985). ^{[ 1 ]}

Para comprender el significado de «reforzar» o «compensar», consideremos una situación en la que todos los participantes deben tomar decisiones similares, como en el artículo de Bulow et al., donde se trata de empresas imperfectamente competitivas que deben decidir cuánto producir. En este caso, las decisiones de producción son estratégicamente complementarias si un aumento en la producción de una empresa incrementa los ingresos marginales de las demás, ya que esto las incentiva a producir más. Esto suele ocurrir si existen rendimientos crecientes a escala agregados suficientemente fuertes y/o si las curvas de demanda de los productos de las empresas tienen una elasticidad precio de la demanda suficientemente baja . Por otro lado, las decisiones de producción son estratégicamente sustitutivas si un aumento en la producción de una empresa disminuye los ingresos marginales de las demás, incentivándolas a producir menos.

Según Russell Cooper y Andrew John, la complementariedad estratégica es la propiedad básica que subyace a los ejemplos de equilibrios múltiples en los juegos de coordinación . ^{[ 2 ]}

Matemáticamente, consideremos un juego simétrico con dos jugadores, cada uno con una función de pago.${\displaystyle \,\Pi (x_{i},x_{j})}$, dónde${\displaystyle \,x_{i}}$representa la propia decisión del jugador, y${\displaystyle \,x_{j}}$representa la decisión del otro jugador. Supongamos${\displaystyle \,\Pi }$es creciente y cóncava en la propia estrategia del jugador.${\displaystyle \,x_{i}}$Bajo estos supuestos, las dos decisiones son complementos estratégicos si un aumento en la decisión de cada jugador${\displaystyle \,x_{i}}$aumenta la ganancia marginal${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{j}}{\partial x_{j}}}}$del otro jugador. En otras palabras, las decisiones son complementos estratégicos si la segunda derivada${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$es positivo para${\displaystyle i\neq j}$. Equivalentemente, esto significa que la función${\displaystyle \,\Pi }$es supermodular .

Por otro lado, las decisiones son sustitutos estratégicos si${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Pi _{j}}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$es negativo, es decir, si${\displaystyle \,\Pi }$es submodular .

En su artículo original, Bulow et al. utilizan un modelo simple de competencia entre dos empresas para ilustrar sus ideas. Los ingresos de la empresa x con tasas de producción${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$es dado por

${\displaystyle U_{x}(x_{1},x_{2};y_{2})=p_{1}x_{1}+(1-x_{2}-y_{2})x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}/2-F}$

mientras que los ingresos de la empresa y con tasa de producción${\displaystyle y_{2}}$en el mercado 2 se da por

${\displaystyle U_{y}(y_{2};x_{1},x_{2})=(1-x_{2}-y_{2})y_{2}-y_{2}^{2}/2-F}$

En cualquier equilibrio interior,${\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{2}^{*})}$, debemos tener

${\displaystyle {\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{1}}}=0,{\dfrac {\partial U_{x}}{\partial x_{2}}}=0,{\dfrac {\partial U_{y}}{\partial y_{2}}}=0.}$

Utilizando cálculo vectorial , álgebra geométrica o geometría diferencial , Bulow et al. demostraron que la sensibilidad del equilibrio de Cournot a los cambios en${\displaystyle p_{1}}$se puede calcular en términos de segundas derivadas parciales de las funciones de pago:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial y_{2}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial x_{2}\partial y_{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial y_{2}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{1}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{x}}{\partial p_{1}\partial x_{2}}}\\[2.2ex]-{\dfrac {\partial ^{2}U_{y}}{\partial p_{1}\partial y_{2}}}\end{bmatrix}}}$

Cuando${\displaystyle 1/4\leq p_{1}\leq 2/3}$,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {dx_{1}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dx_{2}^{*}}{dp_{1}}}\\[2.2ex]{\dfrac {dy_{2}^{*}}{dp_{1}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1&0\\-1&-3&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}8\\-3\\1\end{bmatrix}}}$

Esto, a medida que aumenta el precio en el mercado 1, la empresa x vende más en el mercado 1 y menos en el mercado 2, mientras que la empresa y vende más en el mercado 2. Si se calcula explícitamente el equilibrio de Cournot de este modelo, encontramos

${\displaystyle x_{1}^{*}=\max \left\{0,{\frac {8p_{1}-2}{5}}\right\},x_{2}^{*}=\max \left\{0,{\frac {2-3p_{1}}{5}}\right\},y_{2}^{*}={\frac {p_{1}+1}{5}}.}$

Un juego con complementos estratégicos también se denomina juego supermodular . Este concepto fue formalizado por primera vez por Topkis ^{[ 3 ]} y estudiado por Vives ^{[ 4 ]} . Existen algoritmos eficientes para encontrar equilibrios de Nash de estrategia pura en este tipo de juegos ^{[ 5 , 6 ] .}

Los juegos supermodulares constituyen una clase de juegos particularmente importante y predecible, ya que el principio de complementariedad estratégica garantiza que las funciones de mejor respuesta de los jugadores sean monótonas (no decrecientes).

• Supermodular
• Juego de coordinación
• Fallo de coordinación (economía)
• Unicidad o multiplicidad de equilibrio
• Multiplicador (economía)
• Juego agregativo