Método de Stone

En análisis numérico , el método de Stone , también conocido como procedimiento fuertemente implícito ( SIP ), es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales dispersos . Este método utiliza una descomposición LU incompleta , que se aproxima a la descomposición LU exacta , para obtener una solución iterativa del problema. El método recibe su nombre de Harold S. Stone , quien lo propuso en 1968.

La descomposición LU es un excelente método para resolver ecuaciones lineales de propósito general. Su principal desventaja radica en que no aprovecha la dispersión de la matriz de coeficientes. La descomposición LU de una matriz dispersa generalmente no es dispersa; por lo tanto, para sistemas de ecuaciones grandes, puede requerir una cantidad prohibitiva de memoria y de operaciones aritméticas .

En los métodos iterativos precondicionados , si la matriz de precondicionamiento M es una buena aproximación de la matriz de coeficientes A , la convergencia es más rápida. Esto lleva a la idea de utilizar la factorización aproximada LU de A como matriz de iteración M.

En 1968, Stone propuso una versión del método de descomposición incompleta inferior-superior. Este método está diseñado para sistemas de ecuaciones derivados de la discretización de ecuaciones diferenciales parciales y se utilizó por primera vez para un sistema pentadiagonal de ecuaciones obtenido al resolver una ecuación diferencial parcial elíptica en un espacio bidimensional mediante un método de diferencias finitas . La descomposición aproximada LU se consideró en la misma forma pentadiagonal que la matriz original (tres diagonales para L y tres diagonales para U ) como la que mejor se ajustaba a las siete ecuaciones posibles para las cinco incógnitas de cada fila de la matriz.

El método stone es Para el sistema lineal A x = b calcular la factorización LU incompleta de la matriz A A x = ( M - N )x = ( LU - N )x = b M x (k+1) = N x (k) +b , con || M || >> || N || M x (k+1) = LU x (k+1) = c (k) LU x (k) = L ( U x (k+1) ) = L y (k) = c (k) Haz una suposición k = 0, x (k) r (k) =b - A x (k) mientras ( ||r (k) || 2 ≥ ε ) hacer evaluar el nuevo lado derecho c (k) = N x (k) + b resolver L y (k) = c (k) por sustitución hacia adelante y (k) = L −1 c (k) resolver U x (k+1) = y (k) por sustitución hacia atrás x (k+1) = U −1 y (k) fin mientras

• Stone, HL (1968). "Solución iterativa de aproximaciones implícitas de ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales". SIAM Journal on Numerical Analysis . 5 (3): 530– 538. Bibcode : 1968SJNA....5..530S . doi : 10.1137/0705044 . hdl : 10338.dmlcz/104038 .- el artículo original
• Ferziger, JH y Peric, M. (2001). Métodos computacionales para la dinámica de fluidos . Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42074-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Acosta, JM (2001). Algoritmos numéricos para problemas tridimensionales de dinámica de fluidos computacional. Tesis doctoral . Universidad Politécnica de Cataluña.
• Este artículo incorpora texto del artículo Stone's_method en CFD-Wiki , que está bajo la licencia GFDL .