fenómeno de Stokes

En análisis complejo, el fenómeno de Stokes , descubierto por Sir George Gabriel Stokes , ^{[ 1 ] [ 2 ]} se refiere a la diferencia en el comportamiento asintótico de las funciones en distintas regiones del plano complejo . Esto genera una aparente paradoja al observar el desarrollo asintótico de una función analítica . Dado que una función analítica es continua, cabría esperar que su desarrollo asintótico también lo fuera. Esta paradoja fue objeto de las primeras investigaciones de Stokes y se conoce como fenómeno de Stokes. Las regiones del plano complejo con comportamiento asintótico diferente están delimitadas por uno o dos tipos de curvas, conocidas como curvas de Stokes y curvas anti-Stokes.

Esta aparente paradoja se ha resuelto y se ha demostrado que el supuesto salto discontinuo en las expansiones asintóticas es, en realidad, suave y continuo. Para resolver esta paradoja, es necesario tratar la expansión asintótica con sumo cuidado. Más concretamente, la expansión asintótica debe incluir términos exponencialmente pequeños adicionales en relación con los términos algebraicos habituales. En el fenómeno de Stokes, una expansión asintótica en una región puede contener una contribución exponencialmente pequeña (incluso si se omite esta contribución, se obtiene una expansión asintótica correcta para esa región).

Sin embargo, este término exponencialmente pequeño puede volverse exponencialmente grande en otra región del plano complejo; este cambio se produce a lo largo de las curvas anti-Stokes. Además, el término exponencialmente pequeño puede activar o desactivar otros términos exponencialmente pequeños; este cambio se produce a lo largo de una curva de Stokes. La inclusión de estos términos exponencialmente pequeños permite escribir el desarrollo asintótico como un desarrollo continuo para todo el dominio complejo, lo que resuelve la paradoja del fenómeno de Stokes.

En una curva de Stokes, un término exponencialmente pequeño puede activar o desactivar otro término exponencialmente pequeño.

En una curva anti-Stokes, un término exponencialmente pequeño subdominante puede convertirse en un término exponencialmente grande dominante o viceversa.

Este cambio de comportamiento a través de las curvas de Stokes y anti-Stokes está directamente relacionado con la divergencia de la expansión asintótica. El tipo habitual de divergencia que se observa en una serie asintótica que exhibe el fenómeno de Stokes se conoce como divergencia factorial sobre potencia y tiene la forma típica

${\displaystyle \sum _{j}^{\infty }\epsilon ^{j}{\frac {A\Gamma (j+\alpha )}{\chi ^{j+\alpha }}},}$

Dónde${\displaystyle A}$es una función conocida como prefactor,${\displaystyle \chi }$es una función conocida como Singulant y ${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma .

Las curvas de Stokes se determinan utilizando la condición${\displaystyle \Soy \{\chi \}=0}$y${\displaystyle \Re \{\chi \}>0}$Las curvas anti-Stokes están determinadas por la condición${\displaystyle \Re \{\chi \}=0}$.

La función de Airy Ai( x ) es una de las dos soluciones de una ecuación diferencial simple.

${\displaystyle y''-xy=0,\,}$

que a menudo resulta útil aproximar para muchos valores de x , incluidos los valores complejos. Para valores grandes de x de un argumento dado, la solución puede aproximarse mediante una combinación lineal de las funciones.

${\displaystyle {\frac {e^{\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}.}$

Sin embargo, la combinación lineal debe cambiar a medida que el argumento de x pasa por ciertos valores (cuando x cruza un corte de rama ) porque estas aproximaciones contienen funciones multivaluadas. En contraste, la función de Airy es univaluada y entera , y por lo tanto, para que la aproximación tenga sentido, hay que elegir un único valor entre los múltiples valores posibles (esto impone un corte de rama para la aproximación, por implicación). Por ejemplo, si consideramos el límite de x como grande y real, y quisiéramos aproximar la función de Airy tanto para valores positivos como negativos, encontraríamos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\end{aligned}}}$

que son dos expresiones muy diferentes. Lo que ha sucedido es que, al aumentar el argumento de x de 0 a pi (rotándolo a través del semiplano complejo superior), hemos cruzado una línea anti-Stokes, que en este caso está en${\displaystyle \operatorname {arg} \,x=\pi /3}$. En esta línea anti-Stokes, el coeficiente de${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}}$se ve obligado a saltar. El coeficiente de${\displaystyle {\frac {e^{+{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{x^{1/4}}}}$puede saltar en esta línea pero no está obligado a hacerlo; puede cambiar gradualmente a medida que arg x varía de π/3 a π porque no está determinado en esta región.

Hay tres líneas anti-Stokes con argumentos π/3, π. –π/3, y tres líneas Stokes con argumentos 2π/3, 0. –2π/3.

El ejemplo de la función de Airy se puede generalizar a una amplia clase de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la siguiente manera. Mediante cambios de variables estándar, una ecuación de segundo orden a menudo se puede transformar en una de la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}=f(z)w}$

donde f es holomorfa en una región simplemente conexa y w es una solución de la ecuación diferencial. Entonces, en algunos casos, el método WKB proporciona una aproximación asintótica para w como una combinación lineal de funciones de la forma

${\displaystyle {\frac {e^{\pm \int _{a}^{z}{\sqrt {f(z')}}\,dz'}}{f(z)^{1/4}}}}$

para alguna constante a . (Elegir diferentes valores de a es equivalente a elegir diferentes coeficientes en la combinación lineal). Las líneas anti-Stokes y las líneas de Stokes son entonces los ceros de las partes real e imaginaria, respectivamente, de

${\displaystyle \int _{a}^{z}{\sqrt {f(z')}}\,dz'.}$

Si a es un cero simple de f , entonces localmente f se ve así:${\displaystyle f'(a)(za)}$. Las soluciones se comportarán localmente como las funciones de Airy; tendrán tres líneas de Stokes y tres líneas anti-Stokes que se encuentran en un .

• sumatoria de Borel

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