Número de Stokes

El número de Stokes ( Stk ), llamado así en honor a George Gabriel Stokes , es un número adimensional que caracteriza el comportamiento de partículas suspendidas en un flujo de fluido . El número de Stokes se define como la relación entre el tiempo característico de una partícula (o gota ) y un tiempo característico del flujo o de un obstáculo.

$${\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {t_{0}\,u_{0}}{l_{0}}}}$$ dónde${\displaystyle t_{0}}$es el tiempo de relajación de la partícula (la constante de tiempo en la disminución exponencial de la velocidad de la partícula debido al arrastre),${\displaystyle u_{0}}$es la velocidad del fluido del flujo lejos del obstáculo, y${\displaystyle l_{0}}$es la dimensión característica del obstáculo (típicamente su diámetro) o una escala de longitud característica en el flujo (como el espesor de la capa límite). ^{[ 1 ]} Una partícula con un número de Stokes bajo sigue las líneas de corriente del fluido ( advección perfecta ), mientras que una partícula con un número de Stokes alto está dominada por su inercia y continúa a lo largo de su trayectoria inicial.

En el caso del flujo de Stokes , que se produce cuando el número de Reynolds de la partícula (o gota) es menor que aproximadamente uno, el coeficiente de arrastre de la partícula es inversamente proporcional al propio número de Reynolds. En ese caso, el tiempo característico de la partícula se puede escribir como $${\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}}$$ dónde${\displaystyle \rho _{p}}$es la densidad de partículas ,${\displaystyle d_{p}}$es el diámetro de la partícula y${\displaystyle \mu _{g}}$es la viscosidad dinámica del fluido . ^{[ 2 ]}

En dinámica de fluidos experimental, el número de Stokes es una medida de la fidelidad del trazador de flujo en experimentos de velocimetría de imágenes de partículas (PIV), donde partículas muy pequeñas se arrastran en flujos turbulentos y se observan ópticamente para determinar la velocidad y la dirección del movimiento del fluido (también conocido como campo de velocidad del fluido). Para una precisión de trazado aceptable, el tiempo de respuesta de la partícula debe ser más rápido que la escala de tiempo más pequeña del flujo. Números de Stokes más pequeños representan una mejor precisión de trazado; para${\displaystyle \mathrm {Stk} \gg 1}$Las partículas se desprenderán de un flujo, especialmente cuando el flujo se desacelera bruscamente.${\displaystyle \mathrm {Stk} \ll 1}$Las partículas siguen de cerca las líneas de corriente del fluido. Si${\displaystyle \mathrm {Stk} <0.1}$, los errores de precisión de seguimiento son inferiores al 1%. ^{[ 3 ]}

El número de Stokes proporciona un medio para estimar la calidad de los conjuntos de datos PIV, como se mencionó anteriormente. Sin embargo, la definición de una velocidad o escala de longitud característica puede no ser evidente en todas las aplicaciones. Por lo tanto, se podría obtener una comprensión más profunda de cómo surge un retraso de seguimiento simplemente definiendo las ecuaciones diferenciales de una partícula en el régimen de Stokes. Una partícula que se mueve con el fluido a cierta velocidad${\displaystyle v_{p}(t)}$encontrará un campo de velocidad de fluido variable a medida que se transporta. Supongamos que la velocidad del fluido, en el sistema de referencia lagrangiano de la partícula, es${\displaystyle v_{f}(t)}$Es la diferencia entre estas velocidades la que generará la fuerza de arrastre necesaria para corregir la trayectoria de la partícula:

$${\displaystyle \Delta v(t)=v_{f}(t)-v_{p}(t)}$$

La fuerza de arrastre de Stokes es entonces:

$${\displaystyle F_{D}=3\pi \mu d_{p}\Delta v}$$

La masa de la partícula es:

$${\displaystyle m_{p}=\rho _{p}{\frac {4}{3}}\pi {\bigg (}{\frac {d_{p}}{2}}{\bigg )}^{3}=\rho _{p}{\frac {\pi d_{p}^{3}}{6}}}$$

Por lo tanto, la aceleración de la partícula se puede encontrar a través de la segunda ley de Newton:

$${\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {F_{D}}{m_{p}}}={\frac {18\mu }{{d_{p}}^{2}\rho _{p}}}\Delta v(t)}$$

Tenga en cuenta el tiempo de relajación.${\displaystyle t_{0}={\frac {\rho _{p}d_{p}^{2}}{18\mu _{g}}}}$puede reemplazarse para obtener:

$${\displaystyle {\frac {dv_{p}(t)}{dt}}={\frac {1}{t_{0}}}\Delta v(t)}$$

La ecuación diferencial de primer orden anterior se puede resolver mediante el método de la transformada de Laplace :

$${\displaystyle t_{0}sv_{p}(s)=v_{f}-v_{p}(s)}$$$${\displaystyle {\frac {v_{p}(s)}{v_{f}(s)}}={\frac {1}{t_{0}s+1}}}$$

La solución anterior, en el dominio de la frecuencia, caracteriza un sistema de primer orden con un tiempo característico de${\displaystyle t_{0}}$Por lo tanto, la  frecuencia de ganancia (corte) de −3 dB será:

$${\displaystyle f_{-3{\text{ dB}}}={\frac {1}{2\pi t_{0}}}}$$

La frecuencia de corte y la función de transferencia de partículas, representadas en el panel lateral, permiten evaluar el error de PIV en aplicaciones de flujo inestable y su efecto en las magnitudes espectrales de la turbulencia y la energía cinética.

El error de sesgo en el seguimiento de partículas discutido en la sección anterior es evidente en el dominio de la frecuencia, pero puede ser difícil de apreciar en casos donde se rastrea el movimiento de la partícula para realizar mediciones del campo de flujo (como en la velocimetría de imágenes de partículas ). Una solución simple pero esclarecedora a la ecuación diferencial mencionada anteriormente es posible cuando la función de forzamiento${\displaystyle v_{f}(t)=V_{u}-\Delta VH(t)}$es una función escalón de Heaviside; que representa partículas que atraviesan una onda de choque. En este caso,${\displaystyle V_{u}}$es la velocidad del flujo aguas arriba del choque; mientras que${\displaystyle \Delta V}$es la caída de velocidad a través de la onda de choque.

La respuesta escalón para una partícula es una exponencial simple:

$${\displaystyle v_{p}(t)=(V_{u}-\Delta V)+\Delta Ve^{-t/t_{0}}}$$

Para convertir la velocidad en función del tiempo en una distribución de velocidad de partículas en función de la distancia, supongamos un salto de velocidad unidimensional en el tiempo.${\displaystyle x}$dirección. Supongamos${\displaystyle x=0}$se posiciona donde está la onda de choque, y luego integra la ecuación anterior para obtener:

$${\displaystyle x_{\text{particle}}=\int _{0}^{\Delta t}v_{p}(t)dt=\int _{0}^{\Delta t}(V_{u}-\Delta V)dt+\int _{0}^{\Delta t}\Delta Ve^{-t/t_{0}}dt}$$

$${\displaystyle x_{\text{particle}}=\Delta t(V_{u}-\Delta V)+\Delta t\Delta V(1-e^{-\Delta t/t_{0}})}$$

Considerando un tiempo de relajación de${\displaystyle \Delta t=3t_{0}}$(tiempo hasta el cambio de velocidad del 95%), tenemos:

$${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-\Delta V)+3t_{0}\Delta V(1-e^{-3})}$$

$${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=3t_{0}(V_{u}-0.05\Delta V)}$$

Esto significa que la velocidad de la partícula se estabilizaría dentro del 5% de la velocidad aguas abajo en${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}}$del choque. En la práctica, esto significa que una onda de choque se vería, para un sistema PIV, borrosa por aproximadamente este${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}}$distancia.

Por ejemplo, consideremos una onda de choque normal con número de Mach${\displaystyle M=2}$a una temperatura de estancamiento de 298  K. Una partícula de propilenglicol de${\displaystyle d_{p}=1~\mu {\text{m}}}$desdibujaría el flujo por${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=5{\text{ mm}}}$; mientras que un${\displaystyle d_{p}=10~\mu {\text{m}}}$desdibujaría el flujo por${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}=500{\text{ mm}}}$(lo que, en la mayoría de los casos, daría como resultado resultados de PIV inaceptables).

Aunque una onda de choque es el peor escenario posible de desaceleración abrupta de un flujo, ilustra el efecto del error de seguimiento de partículas en PIV, que produce un desenfoque de los campos de velocidad adquiridos en escalas de longitud del orden${\displaystyle x_{{\text{particle}},95\%}}$.

El análisis anterior no será preciso en el régimen ultra-Stokesiano, es decir, si el número de Reynolds de la partícula es mucho mayor que la unidad. Suponiendo un número de Mach mucho menor que la unidad, Israel y Rosner demostraron una forma generalizada del número de Stokes. ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\text{Stk}}_{\text{e}}={\text{Stk}}{\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}$$

Dónde${\displaystyle {\text{Re}}_{o}}$es el "número de Reynolds de flujo libre de partículas",

$${\displaystyle {\text{Re}}_{o}={\frac {\rho _{g}|\mathbf {u} |d_{p}}{\mu _{g}}}}$$

Una función adicional${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})}$fue definido por; ^{[ 4 ]} esto describe el factor de corrección de arrastre no estokesiano,

$${\displaystyle {\text{Stk}}_{e}={\text{Stk}}\cdot \psi ({\text{Re}}_{o})}$$

De ello se deduce que esta función se define por:

$${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {24}{{\text{Re}}_{o}}}\int _{0}^{{\text{Re}}_{o}}{\frac {d{\text{Re}}^{\prime }}{C_{D}({\text{Re}}^{\prime }){\text{Re}}^{\prime }}}}$$

Considerando los números de Reynolds límite de flujo libre de partículas, como${\displaystyle {\text{Re}}_{o}\to 0}$entonces${\displaystyle C_{D}({\text{Re}}_{o})\to 24/{\text{Re}}_{o}}$y por lo tanto${\displaystyle \psi \to 1}$. Por lo tanto, como era de esperar, el factor de corrección es la unidad en el régimen de arrastre de Stokes. Wessel y Righi ^{[ 5 ]} evaluaron${\displaystyle \psi }$para${\displaystyle C_{D}({\text{Re}})}$a partir de la correlación empírica para el arrastre en una esfera de Schiller y Naumann. ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \psi ({\text{Re}}_{o})={\frac {3({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}-\arctan({\sqrt {c}}{\text{Re}}_{o}^{1/3}))}{c^{3/2}{\text{Re}}_{o}}}}$$

Donde la constante${\displaystyle c=0.158}$El número de Stokes convencional subestima significativamente la fuerza de arrastre para números de Reynolds de flujo libre de partículas elevados. Esto conlleva una sobreestimación de la tendencia de las partículas a desviarse de la dirección del flujo del fluido, lo que puede provocar errores en cálculos posteriores o comparaciones experimentales.

Por ejemplo, la captura selectiva de partículas mediante una boquilla circular alineada de paredes delgadas viene dada por Belyaev y Levin ^{[ 7 ]} como:

$${\displaystyle c/c_{0}=1+(u_{0}/u-1)\left(1-{\frac {1}{1+\mathrm {Stk} (2+0.617u/u_{0})}}\right)}$$

dónde${\displaystyle c}$es la concentración de partículas,${\displaystyle u}$es la velocidad, y el subíndice 0 indica condiciones muy aguas arriba de la boquilla. La distancia característica es el diámetro de la boquilla. Aquí se calcula el número de Stokes,

$${\displaystyle \mathrm {Stk} ={\frac {u_{0}V_{s}}{dg}}}$$

dónde${\displaystyle V_{s}}$es la velocidad de sedimentación de la partícula,${\displaystyle d}$es el diámetro interior del tubo de muestreo, y${\displaystyle g}$es la aceleración de la gravedad.

• Ley de Stokes – Para la fuerza de arrastre en fluidos sobre partículas cuyo número de Reynolds es menor que uno ^{[ 8 ]}

• Fuchs, NA (1989). La mecánica de los aerosoles . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66055-4.
• Hinds, William C. (1999). Tecnología de aerosoles: propiedades, comportamiento y medición de partículas en suspensión . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-19410-1.
• Snyder, WH; Lumley, JL (1971). "Algunas mediciones de funciones de autocorrelación de velocidad de partículas en un flujo turbulento". Journal of Fluid Mechanics . 48 : 41–71 . Bibcode : 1971JFM....48...41S . doi : 10.1017/S0022112071001460 . S2CID 122731370 . 
• Collins, LR; Keswani, A (2004). "Reynolds number scaleing of particle clustering in turbulent aerosols" . New Journal of Physics . 6 (119): 119. Bibcode : 2004NJPh....6..119C . doi : 10.1088/1367-2630/6/1/119 .