variedad estadística

En matemáticas , una variedad estadística es una variedad riemanniana , cuyos puntos representan distribuciones de probabilidad . Las variedades estadísticas constituyen el marco de la geometría de la información . La métrica de información de Fisher proporciona una métrica para estas variedades. Según esta definición, la función de log-verosimilitud es una aplicación diferenciable y la puntuación es una inclusión . ^{[ 1 ]}

La familia de todas las distribuciones normales puede considerarse como un espacio paramétrico bidimensional parametrizado por el valor esperado μ y la varianza σ² ≥ ^0. Equipada con la métrica riemanniana dada por la matriz de información de Fisher , constituye una variedad estadística con una geometría modelada en un espacio hiperbólico . Una forma de visualizar esta variedad consiste en inferir las ecuaciones paramétricas mediante la información de Fisher, en lugar de partir de la función de verosimilitud.  

Un ejemplo sencillo de variedad estadística, tomado de la física, sería el ensamble canónico : se trata de una variedad unidimensional, donde la temperatura T actúa como coordenada. Para cualquier temperatura T fija , se tiene un espacio de probabilidad; así, para un gas de átomos, sería la distribución de probabilidad de las velocidades de los átomos. Al variar la temperatura T , la distribución de probabilidad también varía.

Otro ejemplo sencillo, tomado de la medicina, sería la distribución de probabilidad de los resultados de los pacientes en función de la cantidad de medicamento administrado. Es decir, para una dosis fija, algunos pacientes mejoran y otros no: este es el espacio de probabilidad base. Si se varía la dosis, la probabilidad de los resultados cambia. Por lo tanto, la dosis es la coordenada en la variedad. Para que una variedad sea suave , habría que medir los resultados en respuesta a cambios arbitrariamente pequeños en la dosis; este no es un ejemplo prácticamente realizable, a menos que se disponga de un modelo matemático preexistente de dosis-respuesta donde la dosis pueda variar arbitrariamente.

Sea X una variedad orientable , y sea${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$Sea una medida en X. Equivalentemente, sea${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$sea ​​un espacio de probabilidad en${\displaystyle \Omega =X}$, con álgebra sigma${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Sigma }$y probabilidad${\displaystyle P=\mu }$.

La variedad estadística S ( X ) de X se define como el espacio de todas las medidas${\displaystyle \mu }$en X (con el álgebra sigma)${\displaystyle \Sigma }$mantenido fijo). Nótese que este espacio es de dimensión infinita; comúnmente se considera un espacio de Fréchet . Los puntos de S ( X ) son medidas.

En lugar de trabajar con un espacio S ( X ) de dimensión infinita , es común trabajar con una subvariedad de dimensión finita , definida al considerar un conjunto de distribuciones de probabilidad parametrizadas por algún parámetro suave y de variación continua.${\displaystyle \theta }$. Es decir, se consideran solo aquellas medidas que son seleccionadas por el parámetro. Si el parámetro${\displaystyle \theta }$Si una variedad estadística es n- dimensional, entonces, en general, la subvariedad también lo será. Todas las variedades estadísticas de dimensión finita pueden entenderse de esta manera.

• Teorema de Chentsov