Mapa estándar

El mapa estándar (también conocido como mapa de Chirikov-Taylor o como mapa estándar de Chirikov ) es un mapa caótico que conserva el área de un cuadrado con lado${\displaystyle 2\pi }$sobre sí mismo. ^{[ 1 ]} Se construye mediante una superficie de sección de Poincaré del rotador golpeado , y se define por:

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _ {n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$

dónde${\displaystyle p_{n}}$y${\displaystyle \theta _{n}}$se toman módulo${\displaystyle 2\pi }$.

Las propiedades del caos del mapa estándar fueron establecidas por Boris Chirikov en 1969.

Este mapa describe la superficie de sección de Poincaré del movimiento de un sistema mecánico simple conocido como rotor impulsado . El rotor impulsado consiste en un palo libre de la fuerza de la gravedad, que puede girar sin fricción en un plano alrededor de un eje ubicado en uno de sus extremos, y que es impulsado periódicamente en el otro extremo.

El mapa estándar es una superficie de sección aplicada mediante una proyección estroboscópica sobre las variables del rotador impulsado. ^{[ 1 ]} Las variables${\displaystyle \theta _{n}}$y${\displaystyle p_{n}}$Determinan respectivamente la posición angular del palo y su momento angular después del enésimo golpe. La constante K mide la intensidad de los golpes sobre el rotor golpeado.

El rotor impulsado aproxima sistemas estudiados en los campos de la mecánica de partículas, la física de aceleradores , la física de plasmas y la física del estado sólido . Por ejemplo, los aceleradores de partículas circulares aceleran las partículas mediante impulsos periódicos mientras circulan por el tubo del haz. De este modo, la estructura del haz puede aproximarse mediante el rotor impulsado. Sin embargo, este modelo resulta interesante desde un punto de vista fundamental en física y matemáticas, ya que constituye un modelo muy simple de un sistema conservativo que exhibe caos hamiltoniano . Por consiguiente, es útil para estudiar el desarrollo del caos en este tipo de sistemas.

Para${\displaystyle K=0}$El mapa es lineal y solo son posibles órbitas periódicas y cuasiperiódicas. Al representarlas en el espacio de fases (el plano θ – p ), las órbitas periódicas aparecen como curvas cerradas, y las cuasiperiódicas como cadenas de curvas cerradas cuyos centros se encuentran dentro de otra curva cerrada de mayor tamaño. El tipo de órbita observada depende de las condiciones iniciales del mapa.

La no linealidad del mapa aumenta con K , y con ella la posibilidad de observar dinámicas caóticas para condiciones iniciales apropiadas. Esto se ilustra en la figura, que muestra una colección de diferentes órbitas permitidas al mapa estándar para varios valores de${\displaystyle K>0}$Todas las órbitas mostradas son periódicas o cuasiperiódicas, a excepción de la verde, que es caótica y se desarrolla en una amplia región del espacio de fases como un conjunto de puntos aparentemente aleatorios. Resulta particularmente notable la extrema uniformidad de la distribución en la región caótica, aunque esto puede ser engañoso: incluso dentro de las regiones caóticas, existen un número infinito de islas cada vez más pequeñas que nunca se visitan durante la iteración, como se muestra en el detalle.

El mapa estándar está relacionado con el mapa circular , que tiene una única ecuación iterada similar:

${\displaystyle \theta _ {n+1}=\theta _ {n}+\Omega -K\sin(\theta _ {n})}$

en comparación con

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

Para el mapa estándar, las ecuaciones se reordenan para enfatizar la similitud. En esencia, el mapa circular fuerza a que el momento sea constante.

• Teorema de Ushiki

• Chirikov, BV. Investigación sobre la teoría de la resonancia no lineal y la estocasticidad . Preimpresión N° 267, Instituto de Física Nuclear, Novosibirsk (1969) (en ruso) [Trad. al inglés, CERN Trans. 71-40, Ginebra, octubre (1971), traducido por ATSanders].enlace
• Chirikov, BV Una inestabilidad universal de sistemas osciladores multidimensionales . Phys. Rep. v.52. p.263 (1979) Elsevier, Ámsterdam.
• Lichtenberg, AJ y Lieberman, MA (1992). Dinámica regular y caótica . Springer, Berlín. ISBN 978-0-387-97745-4.Enlace de Springer
• Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 0-521-01084-5.
• Sprott, Julien Clinton (2003). Caos y análisis de series temporales . Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.

• Mapa estándar en MathWorld
• Mapa estándar de Chirikov en Scholarpedia
• Sitio web dedicado a Boris Chirikov.
• Applet interactivo de Java que visualiza las órbitas del Mapa Estándar , por Achim Luhn.
• Aplicación para Mac del Mapa Estándar , por James Meiss
• Mapa estándar interactivo de Applet Javascript en experiences.math.cnrs.fr