Modelo sólido lineal estándar

El modelo lineal sólido estándar (SLS) , también conocido como modelo de Zener en honor a Clarence Zener , ^{[ 1 ]} es un método para modelar el comportamiento de un material viscoelástico mediante una combinación lineal de resortes y amortiguadores que representan los componentes elásticos y viscosos, respectivamente. A menudo se utilizan los modelos más simples de Maxwell y Kelvin-Voigt . Sin embargo, estos modelos suelen resultar insuficientes; el modelo de Maxwell no describe la fluencia ni la recuperación, y el modelo de Kelvin-Voigt no describe la relajación de tensiones . El SLS es el modelo más simple que predice ambos fenómenos.

Definición

Los materiales sometidos a deformación suelen modelarse con componentes mecánicos, como resortes (componente de fuerza restauradora) y amortiguadores (componente de amortiguación).

Conectar un resorte y un amortiguador en serie produce un modelo de un material de Maxwell, mientras que conectar un resorte y un amortiguador en paralelo produce un modelo de un material de Kelvin-Voigt . ^{[ 2 ]} A diferencia de los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt, el SLS es ligeramente más complejo, ya que involucra elementos tanto en serie como en paralelo. Los resortes, que representan el componente elástico de un material viscoelástico, obedecen la ley de Hooke :

\sigma _{s}=E\varepsilon

donde σ es la tensión aplicada, E es el módulo de Young del material y ε es la deformación. El resorte representa el componente elástico de la respuesta del modelo. ^{[ 2 ]}

Los amortiguadores representan el componente viscoso de un material viscoelástico. En estos elementos, la tensión aplicada varía con la tasa de cambio de la deformación en función del tiempo:

\sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}

donde η es la viscosidad del componente amortiguador.

Resolviendo el modelo

Para modelar este sistema, deben cumplirse las siguientes relaciones físicas:

Para componentes en paralelo: $\sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}$ , y $\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}$ . ^{[ 2 ]}

Para componentes en serie: $\sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}$ , y $\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}$ . ^{[ 2 ]}

Representación de Maxwell

Este modelo consta de dos sistemas en paralelo. El primero, denominado brazo de Maxwell, contiene un resorte ( $E=E_{2}$ ) y amortiguador (viscosidad $\eta$ ) en serie. ^{[ 2 ]} El otro sistema contiene solo un resorte ( $E=E_{1}$ ).

Estas relaciones ayudan a relacionar las diversas tensiones y presiones en el sistema general y en el brazo de Maxwell:

$\sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}$

$\varepsilon _ {tot} = \ varepsilon _ {m} = \ varepsilon _ {S_ {1}}$

$\sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}$

$\varepsilon _ {m}=\varepsilon _ {D}+\varepsilon _ {S_ {2}}$

donde los subíndices $m$ , $D$ , $S_{1}$ y $S_{2}$ Consulte Maxwell, amortiguador, resorte uno y resorte dos, respectivamente.

Utilizando estas relaciones, sus derivadas temporales y las relaciones tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}

^{[ 3 ]}

La ecuación también se puede expresar como:

\sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}

o, en notación de puntos:

\sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}

El tiempo de relajación , $\tau$ es diferente para cada material y es igual a

\tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}

Representación de Kelvin-Voigt

Modelo lineal sólido estándar, representación de Kelvin

Este modelo consta de dos sistemas en serie. El primero, denominado brazo de Kelvin, contiene un resorte ( $E=E_{2}$ ) y amortiguador (viscosidad $\eta$ ) en paralelo. El otro sistema contiene solo un resorte ( $E=E_{1}$ ).

Estas relaciones ayudan a relacionar las diversas tensiones y deformaciones en el sistema general y en el brazo de Kelvin:

$\sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}$

$\varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}$

$\sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}$

$\varepsilon _ {k}=\varepsilon _ {D}=\varepsilon _ {S_ {2}}$

donde los subíndices $k$ , $D$ , $S_{1}$ , y $S_{2}$ Consulte Kelvin, amortiguador, resorte uno y resorte dos, respectivamente.

Utilizando estas relaciones, sus derivadas temporales y las relaciones tensión-deformación anteriores para los elementos de resorte y amortiguador, el sistema se puede modelar de la siguiente manera:

\sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}

o, en notación de puntos:

\sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}

El tiempo de retardo , ${\bar {\tau }}$ es diferente para cada material y es igual a

{\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}

Características del modelo

El modelo estándar de sólido lineal combina aspectos de los modelos de Maxwell y Kelvin-Voigt para describir con precisión el comportamiento general de un sistema bajo un conjunto dado de condiciones de carga. El comportamiento de un material sometido a una tensión instantánea se muestra como poseedor de un componente instantáneo en su respuesta. La liberación instantánea de una tensión también produce una disminución discontinua de la deformación, como es de esperar. La forma de la curva de deformación dependiente del tiempo se ajusta al tipo de ecuación que caracteriza el comportamiento del modelo a lo largo del tiempo, dependiendo de cómo se le aplique la carga.

Si bien este modelo puede utilizarse para predecir con precisión la forma general de la curva de deformación, así como su comportamiento ante cargas instantáneas y a largo plazo, carece de la capacidad de modelar numéricamente con precisión los sistemas de materiales.

El modelo de fluido equivalente al modelo sólido lineal estándar incluye un amortiguador en serie con el modelo Kelvin-Voigt y se denomina modelo Jeffreys. ^{[ 4 ]}

Véase también

Referencias

↑ Holm, Sverre (2024). Ecuaciones de ondas acústicas y cuatro formas en que los medios pueden perturbar la velocidad del sonido (PDF) . Vol. 1.3. Universidad de Oslo.
1 2 3 4 5 David Roylance, "Ingeniería de la viscoelasticidad" (24 de octubre de 2001) https://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_visco.pdf
^ Krystyn J. Van Vliet, Conferencia del curso 3.032 del MIT, 23 de octubre de 2006 http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html
↑ Joseph, Daniel D. (27 de noviembre de 2013). Dinámica de fluidos de líquidos viscoelásticos . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461244622.

[1] Holm, Sverre (2024). Ecuaciones de ondas acústicas y cuatro formas en que los medios pueden perturbar la velocidad del sonido (PDF) . Vol. 1.3. Universidad de Oslo.

[Roylance-2] 1 2 3 4 5 David Roylance, "Ingeniería de la viscoelasticidad" (24 de octubre de 2001) https://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/MIT3_11F99_visco.pdf

[KJVV-3] Krystyn J. Van Vliet, Conferencia del curso 3.032 del MIT, 23 de octubre de 2006 http://stellar.mit.edu/S/course/3/fa06/3.032/index.html

[4] Joseph, Daniel D. (27 de noviembre de 2013). Dinámica de fluidos de líquidos viscoelásticos . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461244622.

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