Grupo estable

En teoría de modelos , un grupo estable es un grupo que es estable en el sentido de la teoría de la estabilidad . Una clase importante de ejemplos la constituyen los grupos de rango de Morley finito (véase más adelante).

• Un grupo de rango de Morley finito es un grupo abstracto G tal que la fórmula x  = x tiene rango de Morley finito para el modelo G. De la definición se deduce que la teoría de un grupo de rango de Morley finito es ω-estable ; por lo tanto, los grupos de rango de Morley finito son grupos estables. Los grupos de rango de Morley finito se comportan de ciertas maneras como objetos de dimensión finita . Las sorprendentes similitudes entre los grupos de rango de Morley finito y los grupos finitos son objeto de intensa investigación. 
• Todos los grupos finitos tienen rango de Morley finito, de hecho, rango 0.
• Los grupos algebraicos sobre cuerpos algebraicamente cerrados tienen un rango de Morley finito, igual a su dimensión como conjuntos algebraicos .
• Sela (2006) demostró que los grupos libres , y más generalmente los grupos hiperbólicos sin torsión , son estables. Los grupos libres en más de un generador no son superestables .

La conjetura de Cherlin-Zilber (también llamada conjetura de algebraicidad ), debida a Gregory Cherlin (1979) y Boris Zil'ber (1977) , sugiere que los grupos simples infinitos (ω-estables) son grupos algebraicos simples sobre cuerpos algebraicamente cerrados . La conjetura se habría derivado de la conjetura de tricotomía de Zilber . Cherlin planteó la cuestión para todos los grupos simples ω-estables, pero señaló que incluso el caso de grupos de rango de Morley finito parecía difícil.

El progreso hacia esta conjetura ha seguido el programa de Borovik de transferir métodos utilizados en la clasificación de grupos simples finitos . Una posible fuente de contraejemplos son los grupos malos : grupos conexos no solubles de rango de Morley finito cuyos subgrupos conexos definibles propios son todos nilpotentes . (Un grupo se denomina conexo si no tiene subgrupos definibles de índice finito distintos de sí mismo).

Se han demostrado varios casos especiales de esta conjetura; por ejemplo:

• Cualquier grupo conectado de rango Morley 1 es abeliano .
• Cherlin demostró que un grupo conexo de rango 2 es resoluble.
• Cherlin demostró que un grupo simple de rango de Morley 3 es un grupo malo o isomorfo a PSL ₂ ( K ) para algún cuerpo algebraicamente cerrado K que G interpreta.
• Tuna Altinel, Alexandre V. Borovik y Gregory Cherlin ( 2008 ) demostraron que un grupo infinito de rango de Morley finito es o bien un grupo algebraico sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 2, o bien tiene un rango 2 finito. 

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