Espectro de estabilidad

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , una teoría completa de primer orden T se denomina estable en λ (un número cardinal infinito ) si el espacio de Stone de cada modelo de T de tamaño ≤ λ tiene a su vez tamaño ≤ λ. T se denomina teoría estable si no existe un límite superior para los cardinales κ tales que T sea estable en κ. El espectro de estabilidad de T es la clase de todos los cardinales κ tales que T es estable en κ.

Para las teorías numerables, solo existen cuatro posibles espectros de estabilidad. Las líneas divisorias correspondientes son las de la trascendencia total , la superestabilidad y la estabilidad . Este resultado se debe a Saharon Shelah , quien también definió la estabilidad y la superestabilidad.

El teorema del espectro de estabilidad para teorías numerables

Teorema. Toda teoría completa de primer orden numerable T pertenece a una de las siguientes clases:

T es estable en λ para todos los cardinales infinitos λ— T es totalmente trascendental.
T es estable en λ exactamente para todos los cardinales λ con λ ≥ 2 ^ω — T es superestable pero no totalmente trascendental.
T es estable en λ exactamente para todos los cardinales λ que satisfacen λ = λ ^ω — T es estable pero no superestable.
T no es estable en ningún cardinal infinito λ— T es inestable.

La condición sobre λ en el tercer caso se cumple para cardinales de la forma λ = κ ^ω , pero no para cardinales λ de cofinalidad ω (porque λ < λ ^{cof λ} ).

Teorías totalmente trascendentales

Una teoría completa de primer orden T se denomina totalmente trascendental si toda fórmula tiene rango de Morley acotado , es decir, si RM(φ) < ∞ para toda fórmula φ( x ) con parámetros en un modelo de T , donde x puede ser una tupla de variables. Basta con comprobar que RM( x = x ) < ∞, donde x es una sola variable.

Para las teorías numerables, la trascendencia total es equivalente a la estabilidad en ω, por lo que, para abreviar, las teorías numerables totalmente trascendentales se denominan a menudo ω-estables . Una teoría totalmente trascendental es estable en todo λ ≥ | T |, por lo que una teoría numerable ω-estable es estable en todos los cardinales infinitos.

Toda teoría numerable categórica no numerable es totalmente trascendental. Esto incluye teorías completas de espacios vectoriales o cuerpos algebraicamente cerrados. Las teorías de grupos de rango de Morley finito son otro ejemplo importante de teorías totalmente trascendentales.

Teorías superestables

Una teoría completa de primer orden T es superestable si existe una función de rango en tipos completos que tiene esencialmente las mismas propiedades que el rango de Morley en una teoría totalmente trascendental. Toda teoría totalmente trascendental es superestable. Una teoría T es superestable si y solo si es estable en todos los cardinales λ ≥ 2 ^{| T |} .

Teorías estables

Una teoría que es estable en un cardinal λ ≥ | T | es estable en todos los cardinales λ que satisfacen λ = λ ^{| T |} . Por lo tanto, una teoría es estable si y solo si es estable en algún cardinal λ ≥ | T |.

Teorías inestables

La mayoría de las teorías matemáticamente interesantes se incluyen en esta categoría, tanto teorías complejas como cualquier extensión completa de la teoría de conjuntos ZF, como teorías relativamente sencillas como la teoría de campos cerrados reales. Esto demuestra que el espectro de estabilidad es una herramienta poco precisa. Para obtener resultados más exactos, se pueden analizar las cardinalidades exactas de los espacios de Stone sobre modelos de tamaño ≤ λ, en lugar de simplemente preguntar si son como máximo λ.

El caso incontable

Para una teoría estable general T en un lenguaje posiblemente no numerable, el espectro de estabilidad está determinado por dos cardinales κ y λ ₀ , tales que T es estable en λ exactamente cuando λ ≥ λ ₀ y λ ^μ = λ para todo μ<κ. Por lo tanto, λ ₀ es el cardinal infinito más pequeño para el cual T es estable. Estos invariantes satisfacen las desigualdades

κ ≤ | T | ⁺
κ ≤ λ ₀
λ ₀ ≤ 2 ^{| T |}
Si λ ₀ > | T |, entonces λ ₀ ≥ 2 ^ω

Cuando | T | es numerable, las 4 posibilidades para su espectro de estabilidad corresponden a los siguientes valores de estos cardinales:

κ y λ ₀ no están definidos: T es inestable.
λ ₀ es 2 ^ω , κ es ω ₁ : T es estable pero no superestable
λ ₀ es 2 ^ω , κ es ω: T es superestable pero no ω-estable.
λ ₀ es ω, κ es ω: T es totalmente trascendental (o ω-estable)

Véase también

Espectro de una teoría

Referencias

Poizat, Bruno (2000), Un curso de teoría de modelos. Una introducción a la lógica matemática contemporánea , Universitext, Nueva York: Springer , pp. xxxii+443 , ISBN 0-387-98655-3, MR 1757487 Traducido del francés
Shelah, Saharon (1990) [1978], Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (2.ª ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9