Derivados de estabilidad

Las derivadas de estabilidad , así como las derivadas de control , miden cómo cambian las fuerzas y los momentos que actúan sobre una aeronave al variar otros parámetros relacionados con la estabilidad (como la velocidad aerodinámica , la altitud, el ángulo de ataque , etc.). Para una condición de vuelo de equilibrio definida, se producen cambios y oscilaciones en estos parámetros. Las ecuaciones de movimiento se utilizan para analizar dichos cambios y oscilaciones. Las derivadas de estabilidad y de control se emplean para linealizar (simplificar) estas ecuaciones de movimiento, facilitando así el análisis de la estabilidad del vehículo.

Las derivadas de estabilidad y control cambian con las condiciones de vuelo. El conjunto de derivadas de estabilidad y control que varían en función de las condiciones de vuelo se denomina aeromodelo . Los aeromodelos se utilizan en simuladores de vuelo de ingeniería para analizar la estabilidad, y en simuladores de vuelo en tiempo real para entrenamiento y entretenimiento.

Las derivadas de estabilidad y las derivadas de control están relacionadas porque ambas miden las fuerzas y los momentos que actúan sobre un vehículo cuando cambian otros parámetros. A menudo, se usan juntas y se abrevian como "derivadas de estabilidad y control". Se diferencian en que las derivadas de estabilidad miden los efectos de los cambios en las condiciones de vuelo, mientras que las derivadas de control miden los efectos de los cambios en la posición de las superficies de control.

Derivado de estabilidad

Mide cuánto cambia una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay un pequeño cambio en un parámetro de las condiciones de vuelo, como el ángulo de ataque , la velocidad aerodinámica, la altitud, etc. (Estos parámetros se denominan "estados").

Derivada de control

Mide la magnitud del cambio que se produce en una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay una pequeña variación en la deflexión de una superficie de control, como los alerones, el elevador y el timón de dirección.

Los vehículos aéreos utilizan un sistema de coordenadas de ejes para nombrar parámetros importantes utilizados en el análisis de estabilidad. Todos los ejes pasan por el centro de gravedad (llamado "CG"):

• El eje "X" o "x" va de atrás hacia adelante a lo largo del cuerpo, llamado eje de balanceo .
• El eje "Y" o "y" se extiende de izquierda a derecha a lo largo del ala, y se denomina eje de cabeceo .
• "Z" o "z" va de arriba abajo, llamado eje de guiñada .

En función de la situación, se utilizan dos alineaciones ligeramente diferentes de estos ejes: "ejes fijos al cuerpo" y "ejes de estabilidad".

El uso de derivadas de estabilidad se demuestra de forma más conveniente con configuraciones de misiles o cohetes, ya que presentan mayor simetría que los aviones y, por consiguiente, sus ecuaciones de movimiento son más sencillas. Si se supone que el vehículo se controla mediante el alabeo, los movimientos de cabeceo y guiñada pueden tratarse de forma aislada. Es práctica común considerar el plano de guiñada, de modo que solo es necesario considerar el movimiento en 2D. Además, se supone que el empuje es igual a la resistencia, y la ecuación de movimiento longitudinal puede ignorarse.

El cuerpo está orientado en ángulo${\displaystyle \psi }$(psi) con respecto a los ejes de inercia. El cuerpo está orientado en un ángulo${\displaystyle \beta }$(beta) con respecto al vector velocidad, de modo que las componentes de la velocidad en los ejes del cuerpo sean:

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

dónde${\displaystyle U}$es la velocidad.

Las fuerzas aerodinámicas se generan con respecto a los ejes del cuerpo, que no es un sistema de referencia inercial. Para calcular el movimiento, las fuerzas deben referirse a ejes inerciales. Esto requiere que las componentes de la velocidad del cuerpo se resuelvan a través del ángulo de rumbo.${\displaystyle (\beta )}$en ejes inerciales.

Descomposición en ejes fijos (inerciales):

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

La aceleración con respecto a los ejes de inercia se obtiene derivando estas componentes de la velocidad con respecto al tiempo:

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

Según la segunda ley de Newton , esto es igual a la fuerza que actúa dividida por la masa . Ahora bien, las fuerzas surgen de la distribución de presión sobre el cuerpo y, por lo tanto, se generan en los ejes del cuerpo y no en los ejes inerciales, así que las fuerzas del cuerpo deben descomponerse en ejes inerciales , ya que la segunda ley de Newton no se aplica en su forma más simple a un sistema de referencia acelerado .

Resolución de las fuerzas del cuerpo:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

Segunda ley de Newton, suponiendo masa constante:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

donde m es la masa. Igualando los valores inerciales de aceleración y fuerza, y descomponiendo de nuevo en ejes del cuerpo, se obtienen las ecuaciones de movimiento:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

El deslizamiento lateral,${\displaystyle \beta }$, es una cantidad pequeña, por lo que las ecuaciones de movimiento de pequeña perturbación se convierten en:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

La primera se asemeja a la expresión habitual de la segunda ley de Newton, mientras que la segunda es esencialmente la aceleración centrífuga . La ecuación de movimiento que rige la rotación del cuerpo se deriva de la derivada temporal del momento angular :

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

donde C es el momento de inercia respecto al eje de guiñada. Suponiendo velocidad constante, solo hay dos variables de estado;${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$, que se escribirá de forma más compacta como la velocidad de guiñada r. Hay una fuerza y ​​un momento, que para una condición de vuelo dada serán funciones de${\displaystyle \beta }$, r y sus derivadas temporales. Para configuraciones típicas de misiles, las fuerzas y los momentos dependen, a corto plazo, de${\displaystyle \beta }$y r. Las fuerzas pueden expresarse de la siguiente forma:

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

dónde${\displaystyle Y_{0}}$es la fuerza correspondiente a la condición de equilibrio (generalmente llamada trim ) cuya estabilidad se está investigando. Es práctica común emplear una notación abreviada:

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

La derivada parcial${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$y todos los términos similares que caracterizan los incrementos en las fuerzas y los momentos debidos a incrementos en las variables de estado se denominan derivadas de estabilidad. Típicamente,${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$es insignificante para las configuraciones de misiles, por lo que las ecuaciones de movimiento se reducen a:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

Cada derivada de estabilidad está determinada por la posición, el tamaño, la forma y la orientación de los componentes del misil. En las aeronaves, la estabilidad direccional determina características como el diedro de los planos principales, el tamaño de la aleta y el área del estabilizador horizontal , pero la gran cantidad de derivadas de estabilidad importantes involucradas impide un análisis detallado en este artículo. El misil se caracteriza por solo tres derivadas de estabilidad, lo que proporciona una útil introducción a la dinámica más compleja de los aviones.

Consideremos primero${\displaystyle Y_{\beta }}$, un cuerpo en ángulo de ataque${\displaystyle \beta }$genera una fuerza de sustentación en la dirección opuesta al movimiento del cuerpo. Por esta razón${\displaystyle Y_{\beta }}$siempre es negativo.

A bajos ángulos de ataque, la sustentación se genera principalmente por las alas, las aletas y la región del morro del cuerpo. La sustentación total actúa a una distancia${\displaystyle x_{cp}}$Delante del centro de gravedad (tiene un valor negativo en la figura), este, en términos de misiles, es el centro de presión. Si la sustentación actúa delante del centro de gravedad, el momento de guiñada será negativo y tenderá a aumentar el ángulo de ataque, incrementando aún más tanto la sustentación como el momento. Por lo tanto, para lograr estabilidad estática, el centro de presión debe estar detrás del centro de gravedad. ${\displaystyle x_{cp}}$es el margen estático y debe ser negativo para la estabilidad estática longitudinal . Alternativamente, un ángulo de ataque positivo debe generar un momento de guiñada positivo en un misil estáticamente estable, es decir${\displaystyle N_{\beta }}$debe ser positivo. Es práctica común diseñar misiles maniobrables con un margen estático casi nulo (es decir, estabilidad estática neutra).

La necesidad de positividad${\displaystyle N_{\beta }}$Explica por qué las flechas y los dardos tienen aletas y los cohetes no guiados tienen hélices.

El efecto de la velocidad angular consiste principalmente en disminuir la sustentación del morro y aumentar la sustentación de la cola, las cuales actúan en cierto sentido para oponerse a la rotación. ${\displaystyle N_{r}}$Por lo tanto, siempre es negativo. Hay una contribución del ala, pero dado que los misiles tienden a tener pequeños márgenes estáticos (normalmente menores que un calibre ), esta suele ser pequeña. Además, la contribución de la aleta es mayor que la de la nariz, por lo que hay una fuerza neta.${\displaystyle Y_{r}}$pero esto suele ser insignificante en comparación con${\displaystyle Y_{\beta }}$y suele ignorarse.

La manipulación de las ecuaciones de movimiento produce una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden en el ángulo de ataque.${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

El comportamiento cualitativo de esta ecuación se considera en el artículo sobre estabilidad direccional . Dado que${\displaystyle Y_{\beta }}$y${\displaystyle N_{r}}$Ambos son negativos, el amortiguamiento es positivo. La rigidez no solo depende del término de estabilidad estática.${\displaystyle N_{\beta }}$También incluye un término que determina el ángulo de ataque debido a la rotación del cuerpo. La distancia del centro de sustentación, incluyendo este término, por delante del centro de gravedad se denomina margen de maniobra . Debe ser negativo para que haya estabilidad.

Esta oscilación amortiguada en el ángulo de ataque y la velocidad de guiñada, tras una perturbación, se denomina modo de "vela", en referencia a la tendencia de una veleta a apuntar hacia el viento.

Las variables de estado elegidas fueron el ángulo de ataque.${\displaystyle \beta }$y la velocidad de guiñada r, y se ha omitido la perturbación de velocidad u, junto con las derivadas asociadas, por ejemplo${\displaystyle Y_{u}}$Esto puede parecer arbitrario. Sin embargo, dado que la escala temporal de la variación de velocidad es mucho mayor que la de la variación del ángulo de ataque, sus efectos son insignificantes en lo que respecta a la estabilidad direccional del vehículo. De manera similar, también se ignoró el efecto del balanceo sobre el movimiento de guiñada, ya que los misiles generalmente tienen configuraciones de baja relación de aspecto y la inercia de balanceo es mucho menor que la de guiñada; por consiguiente, se espera que el ciclo de balanceo sea mucho más rápido que la respuesta de guiñada, y se ignora. Estas simplificaciones del problema, basadas en el conocimiento previo , representan un enfoque de ingeniería. Los matemáticos prefieren mantener el problema lo más general posible y solo lo simplifican al final del análisis, si es que lo hacen.

La dinámica de las aeronaves es más compleja que la de los misiles, principalmente porque las simplificaciones, como la separación de los modos rápido y lento y la similitud entre los movimientos de cabeceo y guiñada, no resultan evidentes a partir de las ecuaciones de movimiento y, por consiguiente, se posponen hasta una etapa avanzada del análisis. Las aeronaves de transporte subsónicas tienen configuraciones de alta relación de aspecto, por lo que la guiñada y el alabeo no pueden considerarse desacoplados. Sin embargo, esto es solo una cuestión de grado; los conceptos básicos necesarios para comprender la dinámica de las aeronaves se abordan en este análisis más sencillo del movimiento de los misiles.

La deflexión de las superficies de control modifica la distribución de presión sobre el vehículo, y esto se aborda incluyendo perturbaciones en las fuerzas y momentos debido a la deflexión del control. La deflexión de la aleta normalmente se denota${\displaystyle \zeta }$(zeta). Incluyendo estos términos, las ecuaciones de movimiento se convierten en:

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta }$

La inclusión de las derivadas de control permite estudiar la respuesta del vehículo y utilizar las ecuaciones de movimiento para diseñar el piloto automático.

• C _{L${\displaystyle \beta }$}, llamado efecto diedro , es una derivada de estabilidad que mide los cambios en el momento de balanceo a medida que cambia el ángulo de deslizamiento lateral . La "L" indica el momento de balanceo y el${\displaystyle \beta }$indica el ángulo de deslizamiento lateral.

• Estabilidad estática longitudinal
• Punto neutro
• centro aerodinámico
• dinámica de vuelo
• Estabilidad direccional

• Babister AW: Estabilidad y respuesta dinámica de aeronaves . Elsevier 1980, ISBN 0-08-024768-7
• Friedland B: Diseño de sistemas de control . McGraw-Hill Book Company, 1987. ISBN 0-07-100420-3
• Roskam Jan: Dinámica de vuelo de aviones y controles de vuelo automáticos . Roskam Aviation and Engineering Corporation, 1979. Segunda edición, 1982. Número de catálogo de la Biblioteca del Congreso: 78-31382.