La aproximación de Spouge

En matemáticas, la aproximación de Spouge es una fórmula para calcular una aproximación de la función gamma . Recibe su nombre de John L. Spouge, quien definió la fórmula en un artículo de 1994. ^{[ 1 ]} La fórmula es una modificación de la aproximación de Stirling y tiene la forma

${\displaystyle \Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-za}\left(c_{0}+\sum _{k=1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)}$

donde a es un entero positivo arbitrario y los coeficientes vienen dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{aligned}}}$

Spouge ha demostrado que, si Re( z )  >  0 y a  >  2, el error relativo al descartar ε _a ( z ) está acotado por

${\displaystyle a^{-{\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.}$

La fórmula es similar a la aproximación de Lanczos , pero tiene algunas características distintivas. ^{[ 2 ]} Mientras que la fórmula de Lanczos presenta una convergencia más rápida, los coeficientes de Spouge son mucho más fáciles de calcular y el error puede establecerse arbitrariamente bajo. Por lo tanto, la fórmula es viable para la evaluación de precisión arbitraria de la función gamma. Sin embargo, se debe tener especial cuidado en usar suficiente precisión al calcular la suma debido al gran tamaño de los coeficientes c _k , así como a su signo alterno. Por ejemplo, para a  =  49, se debe calcular la suma usando aproximadamente 65 dígitos decimales de precisión para obtener los 40 dígitos decimales de exactitud prometidos.

• La aproximación de Stirling
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