Media esférica

En matemáticas , la media esférica de una función alrededor de un punto es el promedio de todos los valores de esa función en una esfera de radio dado centrada en ese punto.

Consideremos un conjunto abierto U en el espacio euclidiano R ⁿ y una función continua u definida en U con valores reales o complejos . Sea x un punto en U y r > 0 tal que la bola cerrada B ( x , r ) de centro x y radio r está contenida en U. La media esférica sobre la esfera de radio r centrada en x se define como   

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$

donde ∂ B ( x , r ) es la ( n − 1)-esfera que forma el límite de B ( x , r ), d S denota la integración con respecto a la medida esférica y ω _{n − 1} ( r ) es el "área de superficie" de esta ( n − 1)-esfera.      

De forma equivalente, la media esférica viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)}$

donde ω _{n − 1} es el área de la ( n − 1)-esfera de radio 1.  

La media esférica se suele denotar como

${\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$

La media esférica también se define de forma natural para las variedades riemannianas.

• Desde la continuidad de${\displaystyle u}$De ello se deduce que la función$${\displaystyle r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$$es continuo, y que su límite como${\displaystyle r\to 0}$es${\displaystyle u(x).}$
• Se pueden utilizar medios esféricos para resolver el problema de Cauchy para la ecuación de onda.${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u}$ en dimensión espacial impar. El resultado, conocido como fórmula de Kirchhoff, se deriva utilizando medios esféricos para reducir la ecuación de onda en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(para impares)${\displaystyle n}$) a la ecuación de onda en${\displaystyle \mathbb {R} }$y luego usando la fórmula de d'Alembert . La expresión en sí se presenta en el artículo sobre la ecuación de ondas .
• Si${\displaystyle U}$es un conjunto abierto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle u}$es una función C ^{2 definida en}${\displaystyle U}$, entonces${\displaystyle u}$es armónico si y solo si para todo${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$y todo${\displaystyle r>0}$de tal manera que la bola cerrada${\displaystyle B(x,r)}$está contenido en${\displaystyle U}$uno tiene$${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$$Este resultado puede utilizarse para demostrar el principio del máximo para funciones armónicas.

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Sabelfeld, KK; Shalimova, IA (1997). Medios esféricos para EDP . VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
• Sunada, Toshikazu (1981). "Medias esféricas y cadenas geodésicas en una variedad riemanniana" . Trans. Am. Math. Soc . 267 (2): 483– 501. doi : 10.1090/S0002-9947-1981-0626485-6 .

• Media esférica en PlanetMath .