Grupo de trenzas esféricas

En matemáticas , el grupo de trenzas esféricas o grupo de trenzas de Hurwitz es un grupo de trenzas con n hebras. En comparación con el grupo de trenzas usual, posee una relación de grupo adicional derivada de que las hebras se encuentran en la esfera . El grupo también guarda relación con el problema inverso de Galois . ^{[ 1 ]}

El grupo de trenzas esféricas en n hebras, denotado${\displaystyle SB_{n}}$o${\displaystyle B_{n}(S^{2})}$, se define como el grupo fundamental del espacio de configuración de la esfera: ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle B_{n}(S^{2})=\pi _{1}(\mathrm {Conf} _{n}(S^{2})).}$$ El grupo de trenzas esféricas tiene una presentación en términos de generadores.${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n-1}}$con las siguientes relaciones: ^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$para${\displaystyle |ij|\geq 2}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$para${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$(la ecuación de Yang-Baxter )
• ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{n-1}\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\cdots \sigma _{1}=1}$

La última relación distingue a este grupo del grupo de trenzas habitual.