Índice espectral

En astronomía , el índice espectral de una fuente es una medida de la dependencia de la densidad de flujo radiativo (es decir, flujo radiativo por unidad de frecuencia) con respecto a la frecuencia . Dada la frecuencia,${\displaystyle \nu }$, en Hz y densidad de flujo radiativo ,${\displaystyle S_{\nu }}$en Jy , el índice espectral${\displaystyle \alpha }$se da implícitamente por $${\displaystyle S_{\nu }\propto \nu ^{\alpha }.}$$ Nótese que si el flujo no sigue una ley de potencias en la frecuencia, el índice espectral en sí mismo es una función de la frecuencia. Reordenando lo anterior, vemos que el índice espectral viene dado por $${\displaystyle \alpha \!\left(\nu \right)={\frac {\partial \log S_{\nu }\!\left(\nu \right)}{\partial \log \nu }}.}$$

Evidentemente, la ley de potencias solo puede aplicarse en un determinado rango de frecuencias, ya que de lo contrario la integral sobre todas las frecuencias sería infinita.

El índice espectral también se define a veces en términos de longitud de onda.${\displaystyle \lambda }$En este caso, el índice espectral${\displaystyle \alpha }$se da implícitamente por $${\displaystyle S_{\lambda }\propto \lambda ^{\alpha },}$$ y a una frecuencia dada, el índice espectral se puede calcular tomando la derivada. $${\displaystyle \alpha \!\left(\lambda \right)={\frac {\partial \log S_{\lambda }\!\left(\lambda \right)}{\partial \log \lambda }}.}$$ El índice espectral utilizando el${\displaystyle S_{\nu }}$, que podemos llamar${\displaystyle \alpha _ {\nu},}$difiere del índice${\displaystyle \alpha _{\lambda }}$definido usando${\displaystyle S_{\lambda }.}$El flujo total entre dos frecuencias o longitudes de onda es $${\displaystyle S=C_{1}\left(\nu _{2}^{\alpha _{\nu }+1}-\nu _{1}^{\alpha _{\nu }+1}\right)=C_{2}\left(\lambda _{2}^{\alpha _{\lambda }+1}-\lambda _{1}^{\alpha _{\lambda }+1}\right)=c^{\alpha _{\lambda }+1}C_{2}\left(\nu _{2}^{-\alpha _{\lambda }-1}-\nu _{1}^{-\alpha _{\lambda }-1}\right)}$$ lo cual implica que $${\displaystyle \alpha _{\lambda }=-\alpha _{\nu }-2.}$$A veces se emplea la convención de signos opuesta , ^{[ 1 ]} en la que el índice espectral viene dado por $${\displaystyle S_{\nu }\propto \nu ^{-\alpha }.}$$

El índice espectral de una fuente puede dar pistas sobre sus propiedades. Por ejemplo, utilizando la convención de signos positivos, el índice espectral de la emisión de un plasma térmico ópticamente delgado es -0,1, mientras que para un plasma ópticamente grueso es 2. Por lo tanto, un índice espectral de -0,1 a 2 en radiofrecuencias suele indicar emisión térmica , mientras que un índice espectral negativo pronunciado suele indicar emisión sincrotrónica . La emisión observada puede verse afectada por varios procesos de absorción que afectan principalmente a la emisión de baja frecuencia; la reducción de la emisión observada en bajas frecuencias podría resultar en un índice espectral positivo incluso si la emisión intrínseca tiene un índice negativo. Por consiguiente, no es sencillo asociar índices espectrales positivos con la emisión térmica.

En las radiofrecuencias (es decir, en el límite de baja frecuencia y longitud de onda larga), donde la ley de Rayleigh-Jeans es una buena aproximación al espectro de radiación térmica , la intensidad viene dada por $${\displaystyle B_{\nu }(T)\simeq {\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.}$$ Tomando el logaritmo de cada lado y tomando la derivada parcial con respecto a${\displaystyle \log \,\nu }$rendimientos $${\displaystyle {\frac {\partial \log B_{\nu }(T)}{\partial \log \nu }}\simeq 2.}$$ Utilizando la convención de signos positivos, el índice espectral de la radiación térmica es, por lo tanto,${\displaystyle \alpha \simeq 2}$en el régimen de Rayleigh-Jeans. El índice espectral se desvía de este valor en longitudes de onda más cortas, para las cuales la ley de Rayleigh-Jeans se convierte en una aproximación cada vez más imprecisa, tendiendo a cero a medida que la intensidad alcanza un pico en una frecuencia dada por la ley de desplazamiento de Wien . Debido a la simple dependencia de la temperatura del flujo radiativo en el régimen de Rayleigh-Jeans, el índice espectral de radio se define implícitamente por ^{[ 2 ].}$${\displaystyle S\propto \nu ^{\alpha }T.}$$

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