Matriz de pesos espaciales

El concepto de peso espacial se utiliza en el análisis espacial para describir las relaciones de vecindad entre regiones en un mapa. ^{[ 1 ]} Si una ubicación es vecina de otra, entonces, de lo contrario . Por lo general (aunque no siempre) no consideramos que un sitio sea vecino de sí mismo ^{[ 2 ],} por lo que . Estos coeficientes están codificados en la matriz de peso espacial.${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle w_{ij}\neq 0}$${\displaystyle w_{ij}=0}$${\displaystyle w_{ii}=0}$

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}&\ldots &w_{1N}\\w_{21}&w_{22}&\ldots &w_{2N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\w_{N1}&w_{N2}&\ldots &w_{NN}\\\end{pmatrix}}}$

¿Dónde está el número de sitios en consideración? La matriz de ponderación espacial es una cantidad clave en el cálculo de muchos índices espaciales como el I de Moran , el C de Geary , las estadísticas de Getis-Ord y las estadísticas de recuento de uniones .${\displaystyle N}$

Este enfoque considera los sitios espaciales como nodos en un grafo con enlaces determinados por un límite o vértice compartido. ^{[ 3 ]} Los elementos de la matriz de peso espacial se determinan estableciendo para todos los pares de nodos conectados con todos los demás elementos establecidos a 0. Esto hace que la matriz de peso espacial sea equivalente a la matriz de adyacencia de la red correspondiente. Es común ^{[ 2 ]} normalizar por filas la matriz ,${\displaystyle w_{ij}=1}$${\displaystyle ij}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}/\sum _{j}w_{ij}}$

En este caso, la suma de todos los elementos es igual al número de sitios.${\displaystyle W}$${\displaystyle N}$

Existen tres métodos comunes para enlazar sitios ^{[ 3 ]} que reciben su nombre de las piezas de ajedrez que realizan movimientos similares:

• Torre: Los sitios son vecinos si comparten un borde.
• Obispo: los sitios son vecinos si comparten un vértice.
• Reina: los sitios son vecinos si comparten una arista o un vértice.

En algunos casos, las estadísticas pueden ser bastante diferentes según la definición utilizada, especialmente para datos discretos en una cuadrícula. ^{[ 3 ]} También hay otros casos en los que la elección de vecinos no es obvia y puede afectar el resultado del análisis. Bivand y Wong ^{[ 4 ]} describen una situación en la que el valor de los índices espaciales de asociación (como el I de Moran ) depende de la inclusión o exclusión de un cruce de ferry entre condados. También hay casos en los que las regiones se encuentran en un tripunto o cuadripunto donde los vecindarios de Rook y Queen pueden diferir.

Otra forma de definir vecinos espaciales se basa en la distancia entre sitios. Una opción simple es establecer para cada par separado por una distancia menor que algún umbral . ^{[ 5 ]} Cliff y Ord ^{[ 1 ]} sugieren la forma general${\displaystyle w_{ij}=1}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle w_{ij}=g(d_{ij},\beta _{ij})}$

Donde es alguna función de la distancia entre y y es la proporción del perímetro de en contacto con . La función${\displaystyle g}$${\displaystyle d_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta _{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{ij}=d_{ij}^{-\alpha }\beta _{ij}^{b}}$

Se sugiere entonces. A menudo el término no se incluye y los valores más comunes para son 1 y 2. ^{[ 3 ]} Otra opción común para la función de decaimiento de la distancia es ^{[ 6 ]}${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle w_{ij}=\exp(-d_{ij})}$

Aunque se pueden utilizar varias funciones de núcleo diferentes, la exponencial y otras funciones de núcleo suelen establecer parámetros que deben tenerse en cuenta en las aplicaciones.${\displaystyle w_{ii}=1}$

Es posible hacer que la matriz de pesos espaciales sea una función de la 'clase de distancia': ^{[ 7 ]} donde denota la 'clase de distancia', por ejemplo, correspondiente a los primeros, segundos, terceros, etc. vecinos. En este caso, las funciones de la matriz de pesos espaciales se vuelven dependientes de la clase de distancia. Por ejemplo, el índice I de Moran es${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}(d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle I(d)={\frac {N}{|W(d)|}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(d)(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

Esto define un tipo de correlograma espacial; en este caso, dado que el índice I de Moran mide la autocorrelación espacial, mide cómo cambia la autocorrelación de los datos en función de la clase de distancia. Recordando la primera ley de geografía de Tobler , "todo está relacionado con todo lo demás, pero las cosas cercanas están más relacionadas que las distantes", generalmente disminuye con la distancia.${\displaystyle I(d)}$

Las funciones de distancia comunes incluyen ^{[ 5 ]} la distancia euclidiana , la distancia de Manhattan y la distancia del círculo máximo .

Una aplicación de la matriz de peso espacial es calcular el retardo espacial ^{[ 8 ].}

${\displaystyle [Wx]_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{j}}$

Para ponderaciones estandarizadas por fila establecidas inicialmente en y con , es simplemente el valor promedio observado en los vecinos de . Estas variables rezagadas se pueden usar en análisis de regresión para incorporar la dependencia de la variable de resultado de los valores en sitios vecinos. ^{[ 9 ]} La ecuación de regresión estándar es${\displaystyle w_{ij}=1}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle [Wx]_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

El modelo de retardo espacial agrega el vector de retardo espacial a esto

${\displaystyle y_{i}=\rho \sum _{j}w_{ij}y_{j}+\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

donde es un parámetro que controla el grado de autocorrelación de . ^{[ 10 ]} Esto es similar a un modelo autorregresivo en el análisis de series temporales .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle y}$

• Análisis espacial
• Moran I
• Geary's C
• Estadísticas de recuento de miembros