Armónicos sólidos

En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , que se supone que son funciones (suaves) . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares , que están bien definidos en el origen, y los armónicos sólidos irregulares , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones desempeñan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen reescalando los armónicos esféricos de forma adecuada: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R_{\ell}^{m}(\mathbf {r})}$ ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_ {\ell }^{m}(\theta,\varphi)}$$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ ell }^{m}(\theta,\varphi)}{r^{\ell +1}}}}$$

Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del 3-vector r , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace en la siguiente forma donde l ² es el cuadrado del operador de momento angular adimensional , ${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2 }}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r } \neq \mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}$$

Se sabe que los armónicos esféricos Y^metro
_​son funciones propias de l ² : $${\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$$

Sustitución de Φ( r ) = F ( r ) Y^metro
_​en la ecuación de Laplace se obtiene, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}$$

Las soluciones particulares de la ecuación total de Laplace son armónicos sólidos regulares : y armónicos sólidos irregulares : Los armónicos sólidos regulares corresponden a polinomios homogéneos armónicos , es decir, polinomios homogéneos que son soluciones de la ecuación de Laplace . $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_ {\ell }^{m}(\theta,\varphi),}$$$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ ell }^{m}(\theta,\varphi)}{r^{\ell +1}}}.}$$

La normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones (y de manera análoga para el armónico sólido irregular) en lugar de la normalización a la unidad. Esto es conveniente porque en muchas aplicaciones el factor de normalización de Racah parece inalterado a lo largo de las derivaciones. $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}( \mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ ell }}$$

La traducción del armónico sólido regular da una expansión finita, donde el coeficiente de Clebsch-Gordan está dado por $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}$$$${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

La expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita, con . La cantidad entre corchetes puntiagudos es nuevamente un coeficiente de Clebsch-Gordan , $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }$$${\displaystyle |r|\leq |a|\,}$$${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

Los teoremas de adición fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. ^{[1] [2]}

Los armónicos sólidos regulares son soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace . Al separar lo indeterminado y escribir , se ve fácilmente que la ecuación de Laplace es equivalente a la fórmula de recursión, de modo que cualquier elección de polinomios de grado y de grado da una solución a la ecuación. Una base particular del espacio de polinomios homogéneos (en dos variables) de grado es . Nótese que es la base (única hasta la normalización) de los vectores propios del grupo de rotación : La rotación del plano por actúa como multiplicación por sobre el vector base . ${\displaystyle \Delta R=0}$${\displaystyle z}$${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$$${\displaystyle p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}}$$${\displaystyle p_{0}(x,y)}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle p_{1}(x,y)}$${\displaystyle \ell -1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}}$${\displaystyle SO(2)}$${\displaystyle \rho _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$${\displaystyle e^{\pm i(k-2m)\alpha }}$${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}}$

Si combinamos la base de grado y la base de grado con la fórmula de recursión, obtenemos una base del espacio de polinomios armónicos homogéneos (en tres variables esta vez) de grado que consiste en vectores propios para (nótese que la fórmula de recursión es compatible con la -acción porque el operador de Laplace es invariante rotacionalmente). Estos son los armónicos sólidos complejos: y en general para . ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell -1}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle SO(2)}$${\displaystyle SO(2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}}$$${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$

Al introducir las coordenadas esféricas , , y usar uno, se encuentra la relación habitual con los armónicos esféricos con un polinomio , que es (hasta la normalización) el polinomio de Legendre asociado , y así (de nuevo, hasta la elección específica de la normalización). ${\displaystyle x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )}$${\displaystyle y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )}$${\displaystyle z=r\cos(\varphi )}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))}$${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

Mediante una simple combinación lineal de armónicos sólidos de ± m, estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones . Los armónicos sólidos regulares reales, expresados ​​en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de valor real de orden en x , y , z . La forma explícita de estos polinomios tiene cierta importancia. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . A continuación se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \ell }$

Escribimos de acuerdo con la definición anterior con donde es un polinomio de Legendre de orden ℓ . La fase dependiente de m se conoce como fase de Condon-Shortley . $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$$$${\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}$$${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$

La siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales: y para m = 0 : Dado que la transformación es mediante una matriz unitaria, la normalización de los armónicos sólidos reales y complejos es la misma. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$$${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$$

Al escribir u = cos θ la derivada m -ésima del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en u con Como z = r cos θ se deduce que esta derivada, multiplicada por una potencia apropiada de r , es un polinomio simple en z , $${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}$$$${\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}$$$${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

Consideremos a continuación, recordando que x = r sen θ cos φ y y = r sen θ sen φ , Asimismo, además y $${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$$$${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$$$${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$$$${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$$

$${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }$$ $${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}$$

Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta ℓ = 5 inclusive . Aquí${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}$$

Las funciones más bajas son : ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$

• Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). "Rotación y traslación de armónicos esféricos sólidos regulares e irregulares". En Lowdin, Per-Olov (ed.). Avances en química cuántica . Vol. 7. Academic Press. págs. 1–82. ISBN 9780080582320.
• Thompson, William J. (2004). Momento angular: una guía ilustrada de simetrías rotacionales para sistemas físicos . Weinheim: Wiley-VCH. págs. 143–148. ISBN 9783527617838.