Mapeo del espacio

En matemáticas, especialmente en topología algebraica , el espacio de mapeo entre dos espacios es el espacio de todos los mapeos (continuos) entre ellos.

Considerar el conjunto de todos los mapas como un espacio es útil porque permite realizar consideraciones topológicas. Por ejemplo, una curva${\displaystyle h:I\to \operatorname {Map} (X,Y)}$En el espacio de mapeo existe exactamente una homotopía entre el punto de partida y el punto final.

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , un espacio de mapeo proporciona el Hom interno (es decir, el hom que también es un objeto) en la categoría de espacios.

Un espacio de mapeo puede estar equipado con varias topologías. Una común es la topología compacta-abierta o su k-ificación . Típicamente, existe entonces la relación adjunta.

${\displaystyle \operatorname {Mapa} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Mapa} (X,\operatorname {Mapa} (Y,Z))}$

y por lo tanto${\displaystyle \operatorname {Mapa} }$es un análogo del functor Hom . (Para espacios patológicos, esta relación puede fallar).

Aquí hay otro ejemplo común. Tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Mapa} (X,Y)\hookrightarrow X\times Y}$

dado por${\displaystyle f\mapsto \Gamma _ {f}=}$el gráfico de${\displaystyle f}$Entonces podemos dar${\displaystyle \operatorname {Mapa} (X,Y)}$la topología de Whitney (también llamada topología fina o topología fuerte ) donde un conjunto abierto básico consta de aquellos${\displaystyle g}$de tal manera que${\displaystyle \Gamma _{g}\subconjunto U}$para algún subconjunto abierto${\displaystyle U\subset X\times Y}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La topología compacta-abierta no maneja bien un comportamiento en el infinito y por eso a veces se utiliza la topología de Whitney en su lugar.

Si${\displaystyle X}$es un paracompacto ^{[ 3 ]} y${\displaystyle Y}$es un espacio métrico, entonces la topología de Whitney tiene un conjunto abierto básico de la forma

${\displaystyle B(f,\epsilon ):=\{g\mid d(g(x),f(x))<\epsilon (x)\}}$

para algunos${\displaystyle f\in \operatorname {Map} (X,Y)}$y alguna función continua${\displaystyle \epsilon :X\to \mathbb {R} _{>0}}$. Si, además,${\displaystyle Y}$Una vez completado, tenemos el siguiente hecho importante:

Dejar${\displaystyle Q\subset \operatorname {Map} (X,Y)}$sea ​​un subconjunto tal que cada límite uniforme de una sucesión en${\displaystyle Q}$, si lo hay, está en${\displaystyle Q}$. Entonces${\displaystyle Q}$es un espacio Baire . ^{[ 4 ]}

Esto se demuestra de la misma manera que se demuestra el teorema de categoría de Baire, solo que usamos la versión familiar de una bola mencionada anteriormente.

Para colectores${\displaystyle M,N}$, existe el subconjunto${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}(M,N)\subset \operatorname {Map} (M,N)}$que consta de todos los${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$-mapas suaves de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$Puede equiparse con topología débil o fuerte.

Un teorema básico de aproximación dice que${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{s}(M,N)}$es denso en${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{r}(M,N)}$para${\displaystyle 1\leq s\leq \infty ,0\leq r<s}$. ^{[ 5 ]}

Ver también: teorema de aproximación de Grauert

Un resultado básico aquí es un teorema de Milnor que dice que el espacio de mapeo${\displaystyle \operatorname {Mapa} (X,Y)}$tiene el tipo de homotopía de un complejo CW si${\displaystyle X}$es un espacio compacto de Hausdorff y${\displaystyle Y}$tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ^{[ 6 ]}

• Hirsch, Morris (1997). Topología diferencial . Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Milnor, John (1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía CW-complejo". Transactions of the American Mathematical Society . 90 (2): 272– 280. doi : 10.2307/1993204 . JSTOR 1993204 . 
• Wall, CTC (4 de julio de 2016). Topología diferencial . Cambridge University Press. ISBN 9781107153523.
• M. Golubitsky y V. Guillemin, Aplicaciones estables y sus singularidades, x+209 pp, Springer Graduate Texts 14, Springer-Verlag, 1973.