Aproximación de envolvente que varía lentamente

En física , la aproximación de envolvente de variación lenta ^[1] ( SVEA , a veces también llamada aproximación asimétrica de variación lenta o SVAA ) es la suposición de que la envolvente de un pulso de onda que viaja hacia adelante varía lentamente en el tiempo y el espacio en comparación con un período o una longitud de onda . Esto requiere que el espectro de la señal sea de banda estrecha , por lo que también se la conoce como aproximación de banda estrecha .

La aproximación de la envolvente de variación lenta se utiliza a menudo porque las ecuaciones resultantes son en muchos casos más fáciles de resolver que las ecuaciones originales, lo que reduce el orden de todas o algunas de las derivadas parciales de orden más alto . Pero es necesario justificar la validez de las suposiciones que se hacen.

Por ejemplo, consideremos la ecuación de onda electromagnética :

$${\displaystyle \nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\ ,,}$$

dónde${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.}$

Si k ₀ y ω ₀ son el número de onda y la frecuencia angular de la onda portadora (característica) de la señal E ( r , t ) , la siguiente representación es útil:

$${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=\nombreoperador {\nombreoperador {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],}$$

donde denota la parte real de la cantidad entre paréntesis, y${\displaystyle \operatorname {Re} [\,\cdot \,]}$${\displaystyle i^{2}\equiv -1.}$

En la aproximación de envolvente de variación lenta (SVEA) se supone que la amplitud compleja E ₀ ( r , t ) solo varía lentamente con r y t . Esto implica inherentemente que E ( r , t ) representa ondas que se propagan hacia adelante, predominantemente en la dirección k ₀ . Como resultado de la variación lenta de E ₀ ( r , t ) , al tomar derivadas, las derivadas de orden más alto pueden ignorarse: ^[2]

${\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|}$  y con  ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,}$    ${\displaystyle k_{0}\equiv \izquierda|\mathbf {k} _{0}\derecha|.}$

En consecuencia, la ecuación de onda se aproxima en el SVEA como:

$${\displaystyle 2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{ 0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{ 0}=0~.}$$

Es conveniente elegir k ₀ y ω ₀ de manera que satisfagan la relación de dispersión :

$${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~.}$$

Esto da la siguiente aproximación a la ecuación de onda, como resultado de la aproximación de envolvente que varía lentamente:

$${\displaystyle \mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{ 0}}{\partial t}}=0~.}$$

Se trata de una ecuación diferencial parcial hiperbólica , como la ecuación de onda original, pero ahora de primer orden en lugar de segundo orden. Es válida para ondas coherentes que se propagan hacia adelante en direcciones cercanas a la dirección k ₀ . Las escalas de espacio y tiempo en las que varía E ₀ son generalmente mucho más largas que la longitud de onda espacial y el período temporal de la onda portadora. Por lo tanto, una solución numérica de la ecuación de la envolvente puede utilizar pasos de espacio y tiempo mucho mayores, lo que resulta en un esfuerzo computacional significativamente menor.

Supongamos que la propagación de las ondas se produce predominantemente en la dirección z y que k ₀ se toma en esta dirección. El SVEA solo se aplica a las derivadas espaciales de segundo orden en la dirección z y en el tiempo. Si es el operador de Laplace en el plano x × y , el resultado es: ^[3]${\displaystyle \Delta _{\perp }\equiv \parcial ^{2}/\parcial x^{2}+\parcial ^{2}/\parcial y^{2}}$

$${\displaystyle k_{0}{\frac {\parcial E_{0}}{\parcial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\parcial E_{0}}{\parcial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.}$$

Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica . Esta ecuación tiene una validez mejorada en comparación con la ecuación diferencial parcial completa: representa ondas que se propagan en direcciones significativamente diferentes de la dirección z .

En el caso unidimensional, otra condición suficiente para la validez de SVEA es

${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda }$  y con  ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,}$

donde es la longitud sobre la cual se amplifica el pulso de radiación, es el ancho del pulso y es la velocidad de grupo del sistema radiante. ^[4]${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}}$${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}}$${\displaystyle v}$

Estas condiciones son mucho menos restrictivas en el límite relativista donde es cercano a 1, como en un láser de electrones libres , en comparación con las condiciones habituales requeridas para la validez SVEA. ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$

• Pulso ultracorto
• Aproximación WKB