Método de deflexión de pendiente

El método de deflexión de pendiente es un método de análisis estructural para vigas y marcos introducido en 1914 por George A. Maney. ^[1] El método de deflexión de pendiente fue ampliamente utilizado durante más de una década hasta que se desarrolló el método de distribución de momentos . En el libro, "La teoría y la práctica de las estructuras de marco modernas", escrito por JB Johnson, CW Bryan y FE Turneaure, se afirma que este método fue desarrollado por primera vez "por el profesor Otto Mohr en Alemania, y luego desarrollado de forma independiente por el profesor GA Maney". Según este libro, el profesor Otto Mohr introdujo este método por primera vez en su libro, "Evaluación de cerchas con conexiones de nodos rígidos" o "Die Berechnung der Fachwerke mit Starren Knotenverbindungen".

Al formular ecuaciones de deflexión de pendiente y aplicar condiciones de equilibrio de unión y de corte, se calculan los ángulos de rotación (o los ángulos de pendiente). Al volver a sustituirlos en las ecuaciones de deflexión de pendiente, se determinan fácilmente los momentos de los extremos de los elementos. La deformación del elemento se debe al momento de flexión.

Las ecuaciones de deflexión de pendiente también se pueden escribir utilizando el factor de rigidez y la rotación de la cuerda : ${\displaystyle K={\frac {I_{ab}}{L_{ab}}}}$${\displaystyle \psi ={\frac {\Delta }{L_{ab}}}}$

Cuando una viga simple de longitud y rigidez flexional se carga en cada extremo con momentos en el sentido de las agujas del reloj y , se producen rotaciones en los extremos de los elementos en la misma dirección. Estos ángulos de rotación se pueden calcular utilizando el método de fuerza unitaria o la Ley de Darcy. $Estilo de visualización L_{ab}}$$Estilo de visualización E_{ab}I_{ab}}$$Estilo de visualización M_{ab}}$${\displaystyle M_{ba}}$

${\displaystyle \theta _{a}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}={\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}}$

${\displaystyle \theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}}$

Reordenando estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de desviación de pendiente.

Las condiciones de equilibrio de las articulaciones implican que cada articulación con un grado de libertad no debe tener momentos desequilibrados, es decir, estar en equilibrio. Por lo tanto,

${\displaystyle \Sigma \left(M^{f}+M_{miembro}\right)=\Sigma M_{articulación}}$

Aquí están los momentos de los extremos del miembro, los momentos de los extremos fijos y los momentos externos aplicados directamente en la unión. ${\displaystyle M_{miembro}}$$Estilo de visualización M^{f}}$${\displaystyle M_{articulación}}$

Cuando hay rotaciones de cuerdas en un marco, se deben tener en cuenta condiciones de equilibrio adicionales, es decir, las condiciones de equilibrio de corte.

Se va a analizar la viga estáticamente indeterminada que se muestra en la figura.

• Los miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud .${\displaystyle L=10\m}$
• Las rigideces a flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.
• La carga concentrada de magnitud actúa a distancia del apoyo A.${\displaystyle P=10\kN}$${\displaystyle a=3\m}$
• Sobre BC actúa una carga uniforme de intensidad .${\displaystyle q=1\kN/m}$
• El miembro CD se carga en su parte media con una carga concentrada de magnitud .${\displaystyle P=10\kN}$

En los siguientes cálculos, los momentos y rotaciones en el sentido de las agujas del reloj son positivos.

Los ángulos de rotación , , , de las uniones A, B, C, respectivamente, se toman como incógnitas. No hay rotaciones de cuerdas debido a otras causas, incluido el asentamiento del soporte. ${\displaystyle \theta_{A}}$$estilo de visualización {\theta_{B}}$$Estilo de visualización: {\theta_{C}}$

Los momentos finales fijos son:

${\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6,3\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12,5\mathrm {\,kN\,m} }$

Las ecuaciones de deflexión de pendiente se construyen de la siguiente manera:

${\displaystyle M_{AB}={\frac {EI}{L}}(4\theta _{A}+2\theta _{B})={\frac {4EI\theta _{A}+2EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BA}={\frac {EI}{L}}(2\theta _{A}+4\theta _{B})={\frac {2EI\theta _{A}+4EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BC}={\frac {2EI}{L}}(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)={\frac {8EI\theta _{B}+4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CB}={\frac {2EI}{L}}(2\theta _{B}+4\theta _{C})={\frac {4EI\theta _{B}+8EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)={\frac {2EI\theta _{C}}{L}}}$

Las uniones A, B, C deberían satisfacer la condición de equilibrio. Por lo tanto

${\displaystyle \Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0,4EI\theta_{A}+0,2EI\theta_{B}-14,7=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0,2EI\theta_{A}+1,2EI\theta_{B}+0,4EI\theta_{C}-2,033=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0,4EI\theta_{B}+1,2EI\theta_{C}-4,167=0}$

Los ángulos de rotación se calculan a partir de las ecuaciones simultáneas anteriores.

${\displaystyle \theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}}$

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de deflexión de pendiente se obtienen los momentos en los extremos del miembro (en kNm):

${\displaystyle M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0}$

${\displaystyle M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57}$

${\displaystyle M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57}$

${\displaystyle M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19}$

${\displaystyle M_{CD}=0.4\times -5.785-12.5=-10.19}$

${\displaystyle M_{DC}=0.2\times -5.785+12.5=13.66}$

• Teoría de vigas

• Norris, Charles Head; John Benson Wilbur; Senol Utku (1976). Análisis estructural elemental (3.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 313–326. ISBN 0-07-047256-4.
• McCormac, Jack C.; Nelson, James K. Jr. (1997). Análisis estructural: un enfoque clásico y matricial (2.ª ed.). Addison-Wesley. págs. 430–451. ISBN 0-673-99753-7.
• Yang, Chang-hyeon (10 de enero de 2001). Análisis estructural (en coreano) (4.ª ed.). Seúl: Cheong Moon Gak Publishers. Págs.  357– 389. ISBN 89-7088-709-1. Archivado desde el original el 8 de octubre de 2007.