Grupo delgado

En matemáticas , un grupo delgado es un grupo abeliano sin torsión que es "pequeño" en un sentido que se precisa en la definición que aparece a continuación.

Dejar${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$denotemos el grupo de Baer-Specker , es decir, el grupo de todas las secuencias enteras , con suma término a término. Para cada número natural${\displaystyle n}$, dejar${\displaystyle e_{n}}$ser la secuencia con${\displaystyle n}$El término -ésimo es igual a 1 y todos los demás términos son 0.

Un grupo abeliano sin torsión${\displaystyle G}$Se dice que es delgado si cada homomorfismo de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$en${\displaystyle G}$mapas casi todos los${\displaystyle e_{n}}$al elemento identidad .

Todo grupo abeliano libre es delgado.

El grupo aditivo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$no es esbelto: cualquier mapeo de la${\displaystyle e_{n}}$en${\displaystyle \mathbb {Q} }$se extiende a un homomorfismo del subgrupo libre generado por el${\displaystyle e_{n}}$y como${\displaystyle \mathbb {Q} }$es inyectivo este homomorfismo se extiende sobre todo el${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$. Por lo tanto, un grupo delgado debe ser reducido .

Todo grupo abeliano reducido y libre de torsión numerable es delgado, por lo que todo subgrupo propio de${\displaystyle \mathbb {Q} }$es delgada.

• Un grupo abeliano sin torsión es delgado si y solo si es reducido y no contiene ninguna copia del grupo de Baer-Specker ni ninguna copia del${\displaystyle p}$enteros -ádicos para cualquier${\displaystyle p}$.
• Las sumas directas de grupos delgados también son delgadas.
• Los subgrupos de grupos delgados son delgados.
• Cada homomorfismo de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$en un grupo delgado factores a través de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$para algún número natural${\displaystyle n}$.

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