Teorema de las seis exponenciales

En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendentales , el teorema de las seis exponenciales es un resultado que, dadas las condiciones adecuadas sobre los exponentes, garantiza la trascendencia de al menos una de un conjunto de seis exponenciales.

Si${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$son tres números complejos que son linealmente independientes sobre los números racionales , y${\displaystyle y_{1},y_{2}}$Si dos números complejos son también linealmente independientes sobre los números racionales, entonces al menos uno de los siguientes números es trascendental :

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_{2}},e^{x_{3}y_{1}},e^{x_{3}y_{2}}.}$

El teorema se puede enunciar en términos de logaritmos introduciendo el conjunto L de logaritmos de números algebraicos :

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\}.}$

El teorema entonces dice que si${\displaystyle \lambda _{ij}}$son elementos de L para${\displaystyle i=1,2,j=1,2,3}$de tal manera que${\displaystyle \lambda _{11},\lambda _{12},\lambda _{13}}$son linealmente independientes sobre los números racionales, y λ ₁₁ y λ ₂₁ también son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces la matriz

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}}$

tiene el puesto 2.

Un caso especial del resultado donde x ₁ , x ₂ , y x ₃ son logaritmos de enteros positivos , y ₁  =  1, y y ₂ es real , fue mencionado por primera vez en un artículo de Leonidas Alaoglu y Paul Erdős de 1944 en el que intentan demostrar que la razón de números colosalmente abundantes consecutivos es siempre prima . Afirmaron que Carl Ludwig Siegel conocía una demostración de este caso especial, pero no está registrada. ^{[ 1 ]} Usando el caso especial logran demostrar que la razón de números colosalmente abundantes consecutivos es siempre un primo o un semiprimo .

El teorema fue enunciado explícitamente y demostrado por primera vez en su forma completa de manera independiente por Serge Lang ^{[ 2 ]} y Kanakanahalli Ramachandra ^{[ 3 ]} en la década de 1960.

_{Un resultado más fuerte y} relacionado es el teorema _de las cinco exponenciales , ^{[ 4 ]} que se formula de la siguiente manera: Sean _x₁ , x₂ e y₁ , y₂ _dos pares de números complejos, cada par linealmente independiente sobre los números racionales, y sea γ un número algebraico distinto de cero. Entonces, al menos uno de los siguientes cinco números es trascendental :

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_{2}},e^{\gamma x_{2}/x_{1}}.}$

Este teorema implica el teorema de las seis exponenciales y, a su vez, está implícito en la conjetura de las cuatro exponenciales, aún no demostrada, que afirma que, de hecho, uno de los primeros cuatro números de esta lista debe ser trascendental.

Otro resultado relacionado que implica tanto el teorema de las seis exponenciales como el teorema de las cinco exponenciales es el teorema de las seis exponenciales exactas . ^{[ 5 ]} Este teorema es el siguiente. Sean x ₁ , x ₂ , y x ₃ números complejos linealmente independientes sobre los números racionales, y sean y ₁ e y ₂ un par de números complejos linealmente independientes sobre los números racionales, y supongamos que β _ij son seis números algebraicos para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2 tales que los siguientes seis números son algebraicos:        

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta _{31}},e^{x_{3}y_{2}-\beta _{32}}.}$

Entonces x _i y _j = β _ij para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2. El teorema de las seis exponenciales se deduce entonces estableciendo β _ij = 0 para cada i y j , mientras que el teorema de las cinco exponenciales se deduce estableciendo x ₃ = γ/ x ₁ y utilizando el teorema de Baker para asegurar que los x _i sean linealmente independientes.               

There is a sharp version of the five exponentials theorem as well, although it as yet unproven so is known as the sharp five exponentials conjecture.^[6] This conjecture implies both the sharp six exponentials theorem and the five exponentials theorem, and is stated as follows. Let x₁, x₂ and y₁, y₂ be two pairs of complex numbers, with each pair being linearly independent over the rational numbers, and let α, β₁₁, β₁₂, β₂₁, β₂₂, and γ be six algebraic numbers with γ ≠ 0 such that the following five numbers are algebraic:

${\displaystyle e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})-\alpha }.}$

Then x_i y_j = β_ij for 1 ≤ i, j ≤ 2 and γx₂ = αx₁.

A consequence of this conjecture that isn't currently known would be the transcendence of e^π², by setting x₁ = y₁ = β₁₁ = 1, x₂ = y₂ = iπ, and all the other values in the statement to be zero.

A further strengthening of the theorems and conjectures in this area are the strong versions. The strong six exponentials theorem is a result proved by Damien Roy that implies the sharp six exponentials theorem.^[7] This result concerns the vector space over the algebraic numbers generated by 1 and all logarithms of algebraic numbers, denoted here as L^∗. So L^∗ is the set of all complex numbers of the form

${\displaystyle \beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i},}$

para algún n ≥ 0, donde todos los β _i y α _i son algebraicos y se considera cada rama del logaritmo . El teorema de las seis exponenciales fuertes dice entonces que si x ₁ , x ₂ , y x ₃ son números complejos que son linealmente independientes sobre los números algebraicos, y si y ₁ e y ₂ son un par de números complejos que también son linealmente independientes sobre los números algebraicos, entonces al menos uno de los seis números x _i y _j para 1 ≤ i ≤ 3 y 1 ≤ j ≤ 2 no está en L ^∗ . Esto es más fuerte que el teorema estándar de las seis exponenciales que dice que uno de estos seis números no es simplemente el logaritmo de un número algebraico.           

También existe una fuerte conjetura de cinco exponenciales formulada por Michel Waldschmidt . ^{[ 8 ]} Esta implicaría tanto el fuerte teorema de seis exponenciales como la conjetura de cinco exponenciales precisas. Esta conjetura afirma que si x ₁ , x ₂ e y ₁ , y ₂ son dos pares de números complejos, siendo cada par linealmente independiente sobre los números algebraicos, entonces al menos uno de los siguientes cinco números no está en L ^∗ :

${\displaystyle x_{1}y_{1},\,x_{1}y_{2},\,x_{2}y_{1},\,x_{2}y_{2},\,x_{1}/x_{2}.}$

Todas las conjeturas y teoremas anteriores son consecuencia de la extensión no demostrada del teorema de Baker , que establece que los logaritmos de números algebraicos linealmente independientes sobre los números racionales son automáticamente también algebraicamente independientes. El diagrama de la derecha muestra las implicaciones lógicas entre todos estos resultados.

La función exponencial e ^z uniformiza la aplicación exponencial del grupo multiplicativo G _m . Por lo tanto, podemos reformular el teorema de las seis exponenciales de forma más abstracta como sigue:

Let G = G_m × G_m and take u : C → G(C) to be a non-zero complex-analytic group homomorphism. Define L to be the set of complex numbers l for which u(l) is an algebraic point of G. If a minimal generating set of L over Q has more than two elements then the imageu(C) is an algebraic subgroup of G(C).

(In order to derive the classical statement, set u(z) = (e^y₁z; e^y₂z) and note that Qx₁ + Qx₂ + Qx₃ is a subset of L).

In this way, the statement of the six exponentials theorem can be generalized to an arbitrary commutative group varietyG over the field of algebraic numbers. This generalized six exponential conjecture, however, seems out of scope at the current state of transcendental number theory.

For the special but interesting cases G = G_m × E and G = E × E′, where E, E′ are elliptic curves over the field of algebraic numbers, results towards the generalized six exponential conjecture were proven by Aleksander Momot.^[9] These results involve the exponential function e^z and a Weierstrass function ${\displaystyle \wp }$ resp. two Weierstrass functions ${\displaystyle \wp ,\wp '}$ with algebraic invariants ${\displaystyle g_{2},g_{3},g_{2}',g_{3}'}$, instead of the two exponential functions ${\displaystyle e^{y_{1}z},e^{y_{2}z}}$ in the classical statement.

Sea G = G _m × E y supongamos que E no es isógeno a una curva sobre un cuerpo real y que u ( C ) no es un subgrupo algebraico de G ( C ) . Entonces L está generado sobre Q por dos elementos x ₁ , x ₂ , o por tres elementos x ₁ , x ₂ , x ₃ que no están todos contenidos en una recta real R c , donde c es un número complejo distinto de cero. Un resultado similar se muestra para G = E × E′ . ^{[ 10 ]}

• Alaoglu, Leonidas ; Erdős, Paul (1944). "Sobre números altamente compuestos y similares". Trans . Amer. Math. Soc. 56 (3): 448– 469. doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319. MR 0011087 .  
• Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 . 
• Momot, Aleksander (2011). "Densidad de puntos racionales en variedades de grupos conmutativos y grado de trascendencia pequeño". arXiv : 1011.3368 [ math.NT ].
• Ramachandra, Kanakanahalli (1967–1968). "Contribuciones a la teoría de los números trascendentales. I, II" . Acta Arith. 14 : 65–72 , 73–88 . doi : 10.4064/aa-14-1-65-72 . MR 0224566 . 
• Roy, Damien (1992). "Matrices cuyos coeficientes son formas lineales en logaritmos" . J. Number Theory . 41 (1): 22– 47. doi : 10.1016/0022-314x(92)90081-y . MR 1161143 . 
• Waldschmidt, Michel (1988). "Sobre los métodos de trascendencia de Gel'fond y Schneider en varias variables". En Baker, Alan (ed.). Nuevos avances en la teoría de la trascendencia . Cambridge University Press . pp. 375–398 . MR 0972013 .  
• Waldschmidt, Michel (2005). "Álgebras de Hopf y números trascendentales". En Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; et  al. (eds.). Funciones zeta, topología y física cuántica: Artículos del simposio celebrado en la Universidad de Kinki, Osaka, del 3 al 6 de marzo de 2003. Desarrollos en matemáticas. Vol.  14. Springer. pp. 197–219 . MR 2179279 .  

• Weisstein, Eric W. "Teorema de las seis exponenciales" . MathWorld .
• "Teorema de las seis exponenciales" . PlanetMath .