Matriz singular

Una matriz singular es una matriz cuadrada que no es invertible , a diferencia de las matrices no singulares que sí lo son. De forma equivalente, una matriz singular es una matriz cuadrada que no es invertible.${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$matriz${\displaystyle A}$es singular si y solo si determinante ,${\displaystyle \det(A)=0}$. ^{[ 1 ]} En álgebra lineal clásica, una matriz se llama no singular (o invertible) cuando tiene una inversa ; por definición, una matriz que no cumple este criterio es singular. En términos más algebraicos, una${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$La matriz A es singular precisamente cuando sus columnas (y filas) son linealmente dependientes, de modo que el mapeo lineal${\displaystyle x\mapsto Ax}$no es uno a uno.

En este caso, el núcleo ( espacio nulo ) de A no es trivial (tiene dimensión ≥1), y el sistema homogéneo${\displaystyle Ax=0}$admite soluciones no nulas. Estas caracterizaciones se derivan de los teoremas estándar de rango-nulidad e invertibilidad: para una matriz cuadrada A,${\displaystyle \det(A)\neq 0}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=n}$, y${\displaystyle \det(A)=0}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<n}$.

Una matriz invertible ayuda en el algoritmo al proporcionar la suposición de que ciertas transformaciones, cálculos y sistemas pueden revertirse y resolverse de forma única, como${\displaystyle Ax=B}$a${\displaystyle x=A^{-1}B}$Esto ayuda al solucionador a asegurarse de si una solución es única o no.

En la eliminación gaussiana , invertibilidad de la matriz de coeficientes.${\displaystyle A}$asegura que el algoritmo produzca una solución única. Por ejemplo, cuando la matriz es invertible, los pivotes no son cero, lo que permite intercambiar filas si es necesario y resolver el sistema; sin embargo, en el caso de una matriz singular, algunos pivotes pueden ser cero, lo que no se puede solucionar con simples intercambios de filas. ^{[ 2 ]} Esto impone un problema en el que la eliminación se rompe o da un resultado inconsistente. Otro problema que produce una matriz singular al resolver una eliminación gaussiana es que no puede resolver la sustitución hacia atrás porque para sustituir hacia atrás las entradas diagonales de la${\displaystyle A}$La matriz debe ser distinta de cero, es decir${\displaystyle \det(A)\neq 0}$Sin embargo, en el caso de una matriz singular, el resultado suele ser un número infinito de soluciones.

En sistemas mecánicos y robóticos, las matrices jacobianas singulares indican singularidades cinemáticas . Por ejemplo, la matriz jacobiana de un manipulador robótico (que relaciona las velocidades de las articulaciones con la velocidad del efector final) pierde rango cuando el robot alcanza una configuración con movimiento restringido. En una configuración singular, el robot no puede moverse ni aplicar fuerzas en ciertas direcciones. ^{[ 3 ]}

En la teoría de grafos y la física de redes, la matriz laplaciana de un grafo es inherentemente singular (tiene un valor propio cero) porque la suma de cada fila es cero. ^{[ 4 ]} Esto refleja el hecho de que el vector uniforme está en su espacio nulo.

En aprendizaje automático y estadística, las matrices singulares aparecen con frecuencia debido a la multicolinealidad . Por ejemplo, una matriz de datos${\displaystyle X}$conduce a una covarianza singular o${\displaystyle X^{T}X}$matriz si las características son linealmente dependientes. Esto ocurre en la regresión lineal cuando los predictores son colineales, lo que provoca la matriz de ecuaciones normales.${\displaystyle X^{T}X}$ser singular. ^{[ 5 ]} El remedio suele ser eliminar o combinar características, o usar la pseudoinversa. Las técnicas de reducción de dimensionalidad como el Análisis de Componentes Principales (PCA) explotan la descomposición en valores singulares (SVD): la descomposición en valores singulares produce aproximaciones de bajo rango de los datos, tratando efectivamente la covarianza de los datos como singular al descartar los valores singulares pequeños. ^{[ 5 ]}

Ciertas transformaciones (por ejemplo, proyecciones de 3D a 2D) se modelan mediante matrices singulares, ya que colapsan una dimensión. Su manejo requiere cuidado (no se puede invertir una proyección). En criptografía y teoría de la codificación , se utilizan matrices invertibles para operaciones de mezcla; las singulares se evitarían o se detectarían como errores. ^{[ 6 ]}

El estudio de matrices singulares tiene sus raíces en la historia temprana del álgebra lineal . Los determinantes fueron desarrollados por primera vez en Japón por Seki en 1683 y en Europa por Leibniz y Cramer en la década de 1690 ^{[ 7 ]} como herramientas para resolver sistemas de ecuaciones. Leibniz reconoció explícitamente que un sistema tiene una solución precisamente cuando una determinada expresión determinante es igual a cero. En ese sentido, la singularidad (determinante cero) se entendió como la condición crítica para la resolubilidad. A lo largo de los siglos XVIII y XIX, los matemáticos ( Laplace , Cauchy , etc.) establecieron muchas propiedades de los determinantes y las matrices invertibles, formalizando la noción de que ${\displaystyle \det(A)=0}$caracteriza la no invertibilidad.

El término "matriz singular" surgió posteriormente, pero su importancia conceptual se mantuvo. En el siglo XX, se introdujeron generalizaciones como la pseudoinversa de Moore-Penrose para abordar sistemáticamente los casos singulares o no cuadrados. Como señalan estudios recientes, la idea de una pseudoinversa fue propuesta por E. H. Moore en 1920 y redescubierta por R. Penrose en 1955, ^{[ 8 ]} lo que refleja su utilidad a largo plazo. La pseudoinversa y la descomposición en valores singulares se volvieron fundamentales tanto en la teoría como en las aplicaciones (por ejemplo, en mecánica cuántica, procesamiento de señales, etc.) para el tratamiento de la singularidad. Hoy en día, las matrices singulares son un tema canónico en álgebra lineal: delimitan la frontera entre los casos invertibles (bien comportados) y los casos degenerados (mal condicionados). En términos abstractos, las matrices singulares corresponden a no isomorfismos en aplicaciones lineales y, por lo tanto, son centrales para la teoría de espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Considerar${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\2&-6\end{bmatrix}}}$Como la segunda columna es un múltiplo de la primera, el determinante es cero y, por lo tanto, es singular. Alternativamente, aplicando la eliminación gaussiana en${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$,

$${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\2&-6&b\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rr|r}1&-3&a\\0&0&b-2a\end{array}}\right],}$$

vemos${\displaystyle \operatorname {rank} (A)<2}$, restricciones${\displaystyle b-2a=0}$y múltiples soluciones${\displaystyle x-3y=a}$, a diferencia de las matrices invertibles con soluciones únicas.