Utilidad de un solo parámetro

En el diseño de mecanismos , se dice que un agente tiene una utilidad monoparamétrica si su valoración de los posibles resultados puede representarse mediante un único número. Por ejemplo, en una subasta de un solo artículo, las utilidades de todos los agentes son monoparamétricas, puesto que pueden representarse mediante su valoración monetaria del artículo. En cambio, en una subasta combinatoria de dos o más artículos relacionados, las utilidades no suelen ser monoparamétricas, puesto que generalmente se representan mediante sus valoraciones de todos los posibles conjuntos de artículos.

Hay un conjunto${\displaystyle X}$de posibles resultados.

Hay${\displaystyle n}$agentes que tienen diferentes valoraciones para cada resultado.

En general, cada agente puede asignar un valor diferente y no relacionado a cada resultado en${\displaystyle X}$.

En el caso especial de utilidad de un solo parámetro , cada agente${\displaystyle i}$tiene un subconjunto de resultado conocido públicamente${\displaystyle W_{i}\subconjunto X}$cuáles son los "resultados ganadores" para el agente${\displaystyle i}$(por ejemplo, en una subasta de un solo artículo,${\displaystyle W_{i}}$contiene el resultado en el que el agente${\displaystyle i}$gana el artículo).

Para cada agente, hay un número${\displaystyle v_{i}}$que representa el "valor ganador" de${\displaystyle i}$. La valoración del agente de los resultados en${\displaystyle X}$puede tomar uno de dos valores: ^{[ 1 ] : 228}

• ${\displaystyle v_{i}}$para cada resultado en${\displaystyle W_{i}}$;
• 0 para cada resultado en${\displaystyle X\setminus W_ {i}}$.

El vector de los valores ganadores de todos los agentes se denota por${\displaystyle v}$.

Por cada agente${\displaystyle i}$, el vector de todos los valores ganadores de los demás agentes se denota por${\displaystyle v_{-i}}$. Entonces${\ Displaystyle v \ equiv (v_ {i}, v_ {-i})}$.

Una función de elección social es una función que toma como entrada el vector de valores.${\displaystyle v}$y devuelve un resultado${\displaystyle x\in X}$Se denota por${\displaystyle {\text{Resultado}}(v)}$o${\displaystyle {\text{Resultado}}(v_{i},v_{-i})}$.

La propiedad de monotonicidad débil tiene una forma especial en dominios de un solo parámetro. Una función de elección social es débilmente monótona si para cada agente${\displaystyle i}$y cada${\displaystyle v_{i},v_{i}',v_{-i}}$, si:

${\displaystyle {\text{Resultado}}(v_{i},v_{-i})\in W_{i}}$y

${\displaystyle v'_{i}\geq v_{i}>0}$entonces:

${\displaystyle {\text{Resultado}}(v'_{i},v_{-i})\in W_{i}}$

Es decir, si el agente${\displaystyle i}$Si un agente gana declarando un valor determinado, también puede ganar declarando un valor mayor (cuando las declaraciones de los demás agentes son iguales).

La propiedad de monotonicidad puede generalizarse a mecanismos aleatorios, que devuelven una distribución de probabilidad sobre el espacio.${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ] : 334} La propiedad WMON implica que para cada agente${\displaystyle i}$y cada${\displaystyle v_{i},v_{i}',v_{-i}}$, la función:

${\displaystyle \Pr[{\text{Resultado}}(v_{i},v_{-i})\in W_{i}]}$

es una función débilmente creciente de${\displaystyle v_{i}}$.

Se sabe que, en cualquier dominio, la monotonicidad débil es una condición necesaria para la implementabilidad. Es decir, una función de elección social solo puede implementarse mediante un mecanismo veraz si es débilmente monótona.

En un dominio de un solo parámetro, la monotonicidad débil también es una condición suficiente para la implementabilidad. Es decir, para cada función de elección social débilmente monótona, existe un mecanismo determinista y veraz que la implementa. Esto significa que es posible implementar diversas funciones de elección social no lineales, por ejemplo, maximizar la suma de los cuadrados de los valores o el valor mínimo-máximo.

El mecanismo debería funcionar de la siguiente manera: ^{[ 1 ] : 229}

• Pídales a los agentes que revelen sus valoraciones,${\displaystyle v}$.
• Seleccione el resultado en función de la función de elección social:${\displaystyle x={\text{Resultado}}[v]}$.
• Cada agente ganador (cada agente)${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle x\in W_{i}}$) paga un precio igual al valor crítico:${\displaystyle {\text{Precio}}_{i}(x,v_{-i})=-c_{i}(v_{-i})}$.
• Cada agente perdedor (cada agente)${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle x\notin W_{i}}$) no paga nada:${\displaystyle {\text{Precio}}_{i}(x,v_{-i})=0}$.

Este mecanismo es veraz, porque la utilidad neta de cada agente es:

• ${\ Displaystyle v_ {i} -c_ {i} (v_ {-i})}$si gana;
• 0 si pierde.

Por lo tanto, el agente prefiere ganar si${\displaystyle v_{i}>c_{-i}}$y perder si${\displaystyle v_{i}<c_{-i}}$, que es exactamente lo que sucede cuando dice la verdad.

Un mecanismo aleatorio es una distribución de probabilidad sobre mecanismos deterministas. Un mecanismo aleatorio se denomina veraz en expectativa si decir la verdad le da al agente el mayor valor esperado .

En un mecanismo aleatorio, cada agente${\displaystyle i}$tiene una probabilidad de ganar, definida como:

${\displaystyle w_{i}(v_{i},v_{-i}):=\Pr[{\text{Resultado}}(v_{i},v_{-i})\in W_{i}]}$

y un pago esperado, definido como:

${\displaystyle \mathbb {E} [{\text{Pago}}_{i}(v_{i},v_{-i})]}$

En un dominio de un solo parámetro, un mecanismo aleatorio es veraz en expectativa si y solo si: ^{[ 1 ] : 232}

• La probabilidad de ganar,${\ Displaystyle w_ {i} (v_ {i}, v_ {-i})}$, es una función débilmente creciente de${\displaystyle v_{i}}$;
• La remuneración esperada de un agente es:

${\displaystyle \mathbb {E} [{\text{Pago}}_{i}(v_{i},v_{-i})]=v_{i}\cdot w_{i}(v_{i},v_{-i})-\int _{0}^{v_{i}}w_{i}(t,v_{-i})dt}$

Tenga en cuenta que en un mecanismo determinista,${\ Displaystyle w_ {i} (v_ {i}, v_ {-i})}$es 0 o 1, la primera condición se reduce a la débil monotonicidad de la función de resultado y la segunda condición se reduce a asignar a cada agente su valor crítico.

Cuando las utilidades no son monoparamétricas (por ejemplo, en subastas combinatorias ), el problema del diseño del mecanismo se vuelve mucho más complejo. El mecanismo VCG es uno de los pocos mecanismos que funciona para este tipo de valoraciones generales.

• preferencias de un solo pico