Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon o interpolación sinc es un método para construir una función de ancho de banda limitado en tiempo continuo a partir de una secuencia de números reales. La fórmula se remonta a los trabajos de E. Borel en 1898 y E. T. Whittaker en 1915, y fue citada en los trabajos de J. M. Whittaker en 1935, y en la formulación del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon por Claude Shannon en 1949. También se la conoce comúnmente como fórmula de interpolación de Shannon y fórmula de interpolación de Whittaker . E. T. Whittaker, quien la publicó en 1915, la denominó serie cardinal .

Dada una secuencia de números reales,${\displaystyle x[n]=x(nT)}$, que representa una secuencia de muestras a intervalos de tiempo de${\displaystyle T}$segundos, considere la siguiente función continua:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

dónde${\displaystyle {\rm {sinc(t)}}}$denota la función sinc normalizada${\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$.

${\displaystyle x(t)}$tiene una transformada de Fourier${\displaystyle X(f)}$, cuyos valores distintos de cero se limitan a la región${\displaystyle |f|\leq {\frac {1}{2T}}}$y un límite de banda de${\displaystyle 1/(2T)}$ciclos/seg ( hercios ). La cantidad${\displaystyle f_{s}=1/T}$se conoce como la frecuencia de muestreo y${\displaystyle f_{s}/2}$es la frecuencia de Nyquist correspondiente . Cuando la función muestreada tiene un límite de banda menor que la frecuencia de Nyquist,${\displaystyle x(t)}$es una reconstrucción perfecta de la función original (véase el teorema de muestreo ). De lo contrario, los componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de Nyquist se " plegarán " en la región sub-Nyquist de${\displaystyle X(f)}$, lo que resulta en distorsión.

La fórmula de interpolación se deriva en el artículo sobre el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , que señala que también puede expresarse como la convolución de un tren de impulsos infinito con una función sinc :

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)} _{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)\circledast \left({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)\right).}$

Esto equivale a filtrar el tren de impulsos con un filtro paso bajo ideal ( de pared de ladrillo ) con una ganancia de 1 (o 0 dB) en la banda de paso. Si la frecuencia de muestreo es suficientemente alta, esto significa que la imagen de banda base (la señal original antes del muestreo) se transmite sin cambios y las demás imágenes se eliminan mediante el filtro de pared de ladrillo. 

La fórmula de interpolación siempre converge de forma absoluta y localmente uniforme siempre que

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

Por la desigualdad de Hölder, esto se satisface si la secuencia${\displaystyle (x[n])_{n\in \mathbb {Z} }}$pertenece a cualquiera de los${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$espacios con 1 ≤ p < ∞, es decir    

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty .}$

Esta condición es suficiente, pero no necesaria. Por ejemplo, la suma generalmente convergerá si la secuencia de muestras proviene del muestreo de casi cualquier proceso estacionario , en cuyo caso la secuencia de muestras no es sumable al cuadrado y no está en ningún${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$espacio.

Si x [ n ] es una secuencia infinita de muestras de una función de muestra de un proceso estacionario en sentido amplio , entonces no es miembro de ningún${\displaystyle \ell ^{p}}$o espacio L ^p , con probabilidad 1; es decir, la suma infinita de muestras elevadas a una potencia p no tiene un valor esperado finito. Sin embargo, la fórmula de interpolación converge con probabilidad 1. La convergencia se puede demostrar fácilmente calculando las varianzas de los términos truncados de la suma y mostrando que la varianza puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo un número suficiente de términos. Si la media del proceso es distinta de cero, entonces es necesario considerar pares de términos para demostrar también que el valor esperado de los términos truncados converge a cero.

Dado que un proceso aleatorio no posee una transformada de Fourier, la condición para que la suma converja a la función original también debe ser diferente. Un proceso aleatorio estacionario sí posee una función de autocorrelación y, por lo tanto, una densidad espectral según el teorema de Wiener-Khinchin . Una condición adecuada para la convergencia a una función de muestra del proceso es que la densidad espectral del proceso sea cero en todas las frecuencias iguales o superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo.