Teorema de Budan

En matemáticas, el teorema de Budan es un teorema que permite acotar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo y calcular la paridad de dicho número. Fue publicado en 1807 por François Budan de Boislaurent .

Un teorema similar fue publicado de forma independiente por Joseph Fourier en 1820. Cada uno de estos teoremas es un corolario del otro. El enunciado de Fourier aparece con mayor frecuencia en la literatura del siglo XIX y se le ha denominado teorema de Fourier , teorema de Budan-Fourier , teorema de Fourier-Budan e incluso teorema de Budan.

La formulación original de Budan se utiliza en algoritmos modernos y rápidos para el aislamiento de raíces reales de polinomios.

Dejar${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots c_{k}}$Sea una sucesión finita de números reales. Una variación de signo o cambio de signo en la sucesión es un par de índices i < j tales que${\displaystyle c_{i}c_{j}<0,}$y j = i + 1 o${\displaystyle c_{k}=0}$para todo k tal que i < k < j .

En otras palabras, se produce una variación de signo en la secuencia en cada lugar donde cambian los signos, si se ignoran los ceros.

Para estudiar las raíces reales de un polinomio, se puede utilizar el número de variaciones de signo de varias secuencias. Para el teorema de Budan, es la secuencia de los coeficientes. Para el teorema de Fourier, es la secuencia de valores de las derivadas sucesivas en un punto. Para el teorema de Sturm , es la secuencia de valores en un punto de la secuencia de Sturm .

Todos los resultados descritos en este artículo se basan en la regla de los signos de Descartes.

Si p ( x ) es un polinomio univariado con coeficientes reales, denotemos por # ₊ ( p ) el número de sus raíces reales positivas, contadas con su multiplicidad, ^{[ 1 ]} y por v ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de sus coeficientes. La regla de los signos de Descartes afirma que

v ( p ) – # ₊ ( p ) es un entero par no negativo.

En particular, si v ( p ) ≤ 1 , entonces se tiene # ₊ ( p ) = v ( p ) .

Dado un polinomio univariado p ( x ) con coeficientes reales, denotemos por # _{( ℓ , r ]} ( p ) el número de raíces reales, contadas con sus multiplicidades, ^{[ 1 ]} de p en un intervalo semiabierto ( ℓ , r ] (con ℓ < r números reales). Denotemos también por v _h ( p ) el número de variaciones de signo en la secuencia de los coeficientes del polinomio p _h ( x ) = p ( x + h ) . En particular, se tiene v ( p ) = v ₀ ( p ) con la notación de la sección anterior.

El teorema de Budan es el siguiente:

${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)-\#_{(\ell ,r]}}$es un número entero par no negativo.

Como${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}}$es no negativo, esto implica${\displaystyle v_{\ell }(p)\geq v_{r}(p).}$

Esta es una generalización de la regla de los signos de Descartes, ya que, si se elige r suficientemente grande, es mayor que todas las raíces reales de p y todos los coeficientes de${\displaystyle p_{r}(x)}$son positivos, es decir${\displaystyle v_{r}(p)=0.}$De este modo${\displaystyle v_{0}(p)=v_{0}(p)-v_{r}(p),}$y${\displaystyle \#_{+}=\#_{(0,r)},}$lo que convierte la regla de los signos de Descartes en un caso especial del teorema de Budan.

En cuanto a la regla de los signos de Descartes, si${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1,}$uno tiene${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}=v_{\ell }(p)-v_{r}(p).}$Esto significa que, si${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1}$Existe una "prueba de raíz cero" y una "prueba de raíz única".

El teorema de Fourier sobre raíces reales de polinomios , también llamado teorema de Fourier-Budan o teorema de Budan-Fourier (a veces simplemente teorema de Budan ), es exactamente igual que el teorema de Budan, excepto que, para h = l y r , la secuencia de los coeficientes de p ( x + h ) se reemplaza por la secuencia de las derivadas de p en h .

Cada teorema es corolario del otro. Esto se debe al desarrollo de Taylor.

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\deg p}{\frac {p^{(i)}(h)}{i!}}(x-h)^{i}}$

del polinomio p en h , lo que implica que el coeficiente de x ⁱ en p ( x + h ) es el cociente de${\displaystyle p^{(i)}(h)}$por i ! , un número positivo. Por lo tanto, las secuencias consideradas en el teorema de Fourier y en el teorema de Budan tienen el mismo número de variaciones de signo.

Esta estrecha relación entre ambos teoremas podría explicar la controversia sobre su prioridad que surgió en el siglo XIX y el uso de diferentes nombres para el mismo teorema. En la actualidad, para cálculos informáticos, se suele preferir el teorema de Budan, ya que las secuencias presentan coeficientes mucho mayores en el teorema de Fourier que en el de Budan, debido al factor factorial .

Como cada teorema es corolario del otro, basta con demostrar el teorema de Fourier.

Prueba:

Dejar${\displaystyle n}$ser el grado de${\displaystyle f}$, de modo que${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}}$son polinomios no constantes,${\displaystyle f^{(n)}}$es una constante distinta de cero, y${\displaystyle f^{(n+1)},...}$son todos idénticamente cero.

Como función de${\displaystyle t,}$la variación del signo${\displaystyle v_{t}(f)}$solo puede variar en una raíz de al menos uno de${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}.}$

Si${\displaystyle v_{t}(f)}$varía en${\displaystyle t=r}$, luego para algunos${\displaystyle k}$,${\displaystyle f^{(k)}(x)}$tiene una raíz en${\displaystyle t}$y cada uno de${\displaystyle f,f',...,f^{(k-1)}}$no tiene raíz en${\displaystyle t}$.

Si${\displaystyle k=0}$, entonces${\displaystyle f(x)=(x-r)^{s}p(x-r)}$para algunos${\displaystyle s\geq 1}$y algún polinomio${\displaystyle p}$que satisface${\displaystyle p(0)\neq 0}$. Mediante el cálculo explícito${\displaystyle f,f',...,f^{(n)}}$en${\displaystyle r}$y${\displaystyle r-\epsilon }$para un pequeño${\displaystyle \epsilon }$, tenemos${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-s-2s',\quad \exists s'\geq 0.}$

En esta ecuación, el término${\displaystyle -s}$se debe a los signos de${\displaystyle f,f',...,f^{(s)}}$cambiando de${\displaystyle (-1)^{s}\operatorname {sign} (p(0)),(-1)^{s-1}\operatorname {sign} (p(0)),...,-\operatorname {sign} (p(0)),\operatorname {sign} (p(0))}$a${\displaystyle 0,0,...,0,\operatorname {sign} (p(0))}$. El término${\displaystyle -2s',\quad \exists s'\geq 0}$Esto se debe a que los signos de las derivadas de orden superior posiblemente se conviertan en cero.

Si${\displaystyle k\geq 1}$, entonces, dado que algunas derivadas se anulan en${\displaystyle r}$pero ambos${\displaystyle f^{(k-1)}(x)}$y${\displaystyle f^{(n)}(x)}$Si el número de cambios de signo permanece distinto de cero, solo perdemos un número par de cambios:

$${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-2s',\quad \exists s'\geq 0}$$

Si${\displaystyle v_{t}(f)}$varía en${\displaystyle t=l}$, argumentando de manera similar, encontramos que para ambos casos, podemos tomar un pequeño${\displaystyle \epsilon }$de tal manera que${\displaystyle v_{l+\epsilon }(f)=v_{l}(f)}$.

El problema de contar y localizar las raíces reales de un polinomio comenzó a estudiarse sistemáticamente solo a principios del siglo XIX.

En 1807, François Budan de Boislaurent descubrió un método para extender la regla de los signos de Descartes —válida para el intervalo (0, +∞) — a cualquier intervalo. ^{[ 2 ]}

Joseph Fourier publicó un teorema similar en 1820, ^{[ 3 ]} en el que trabajó durante más de veinte años. ^{[ 4 ]}

Debido a la similitud entre los dos teoremas, hubo una controversia sobre la prioridad, ^{[ 5 ] [ 6 ]} a pesar de que ambos teoremas fueron descubiertos independientemente. ^{[ 4 ]} Generalmente, la formulación y demostración de Fourier fueron las que se utilizaron, durante el siglo XIX, en los libros de texto sobre la teoría de ecuaciones .

• Propiedades de las raíces de polinomios
• Algoritmo de búsqueda de raíces

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Budan de Boislaurent" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews