Número de Sierpiński

En teoría de números , un número de Sierpiński es un número natural impar k tal que${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$es compuesto para todos los números naturales n . En 1960, Wacław Sierpiński demostró que hay infinitos enteros impares k que tienen esta propiedad.

En otras palabras, cuando k es un número de Sierpiński, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Si el formulario es en su lugar${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$, entonces k es un número de Riesel .

La secuencia de números de Sierpiński conocidos hasta el momento comienza con:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (secuencia A076336 en el OEIS ) .

El número 78557 fue identificado como un número de Sierpiński por John Selfridge en 1962, quien demostró que todos los números de la forma 78557⋅2 ⁿ + 1 tienen un factor en el conjunto de recubrimiento {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Para otro número de Sierpiński conocido, 271129, el conjunto de recubrimiento es {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. La mayoría de los números de Sierpiński conocidos actualmente poseen conjuntos de recubrimiento similares. ^{[ 1 ]}

^{Sin embargo, en 1995 ,} A.S. Izotov demostró que algunas cuartas potencias podían probarse como números de Sierpiński sin establecer un conjunto de recubrimiento para todos los valores de ^{n. Su prueba se basa en la factorización aurifeuilleana t⁴ ⋅ 2⁴ m⁺² + 1 = (t² ⋅ 2² m⁺¹ + t² ⋅ 2² m⁺¹ + 1) ⋅ (t² ⋅ 2² m⁺¹} − t² ⋅ 2² ^m⁺¹ + ^{1 )} . Esto ^establece que ^{todos los} n ^≡ 2 ^{( mod} 4 ) ^dan lugar ^{a un} compuesto , por ^{lo que} solo queda eliminar n ≡ 0 , 1, 3 (mod 4) utilizando un conjunto de recubrimiento. ^{[ 2 ]}

El problema de Sierpiński plantea la cuestión del valor del número de Sierpiński más pequeño. En correspondencia privada con Paul Erdős , Selfridge conjeturó que 78.557 era el número de Sierpiński más pequeño. ^{[ 3 ]} No se han descubierto números de Sierpiński más pequeños, y actualmente se cree que 78.557 es el número más pequeño. ^{[ 4 ]}

Para demostrar que 78.557 es realmente el número de Sierpiński más pequeño, hay que demostrar que todos los números impares menores que 78.557 no son números de Sierpiński. Es decir, para cada k impar menor que 78.557, debe existir un entero positivo n tal que k²n ⁺ 1 sea primo. ^{[ 1 ]} El proyecto de computación distribuida voluntaria PrimeGrid está intentando eliminar todos los valores restantes de k : ^{[ 5 ]}

k = 21181, 22699, 24737, 55459 y 67607.

El estado actual de los multiplicadores restantes se puede consultar en el sitio web de PrimeGrid. ^{[ 6 ]}

En 1976, Nathan Mendelsohn determinó que el número primo 271.129 es un número de Sierpiński. Es el segundo número de Sierpiński más pequeño conocido y el número primo de Sierpiński más pequeño conocido, pero se desconoce si existen otros menores. El problema de los números primos de Sierpiński plantea la cuestión del valor del número primo de Sierpiński más pequeño, y actualmente existe una "búsqueda de números primos de Sierpiński" que intenta demostrar que 271.129 es el primer número de Sierpiński que también es primo. ^{[ 7 ]}

Supongamos que 78.557 es el número de Sierpiński más pequeño y 271.129 es el número de Sierpiński primo más pequeño. Esto deja el segundo número de Sierpiński desconocido: podría existir un número de Sierpiński compuesto entre 78.557 y 271.129. Una búsqueda en curso intenta demostrar que 271.129 es el segundo número de Sierpiński probando todos los enteros en ese rango, sean primos o no. ^{[ 8 ]}

Un número que es a la vez Sierpiński y Riesel es un número de Brier (en honor a Éric Brier ). Los cinco ejemplos más pequeños conocidos son 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787 y 17855036657007596110949 ( A076335 ); se desconoce si existen otros números de Brier más pequeños que estos (es decir, puede que no sean los cinco más pequeños). ^{[ 9 ]}

• Número de Cullen
• Número de Proth
• Número de Woodall

• Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números , Nueva York: Springer-Verlag , pág.  120, ISBN 0-387-20860-7

• El problema de Sierpinski: definición y estado actual
• Weisstein, Eric W. "El teorema de los números compuestos de Sierpinski" . MathWorld .
• Archivado en Ghostarchivey la Wayback Machine: Grime, Dr. James (13 de noviembre de 2017). "78557 y Proth Primes" (video) . YouTube . Brady Haran . Recuperado el 13 de noviembre de 2017 .